斯特林公式

1. 数学表示

该公式是一个 $\Gamma$ 函数的渐进近似，其中

$$\Gamma(\nu + 1) = \nu\,!$$

数学上常用的表示形式为

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\mathrm{e}^n n\,!} {n^n\sqrt{n} } = \sqrt{2 \pi}$$

或者

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n\,!} {\sqrt{2 \pi n}\left(\frac{n}{\mathrm{e} }\right)^n} = 1$$

斯特林公式来自于鞍点法：

$$\begin{aligned} \Gamma(\nu + 1) &= \nu\,! \\ &= \int\mathrm{e}^{-t}t^{\nu}\mathrm{d}t &= \int\mathrm{e}^{g(t)}\mathrm{d}t \end{aligned}$$

换元

$$\begin{aligned} g(t) &= -t \\ g'(t) &= -1 + \frac{\nu}{t} \\ t_m &= \mu \\ g''(t_m) &= -\frac{1}{\nu} \\ \Gamma(\nu + 1) &\mathop{\approx}\limits^{\nu \rightarrow \infty}\mathrm{e}^{g(t_m)} \int\exp\left(\frac{1}{2}{g''(t_m)(t-t_m)^2}\right) \,\mathrm{d}t \end{aligned}$$

得出

$$\nu\,! \mathop{\approx}\limits^{\nu \rightarrow \infty} \mathrm{e}^{-\nu + \nu\log\nu}\sqrt{2 \pi \nu}$$

2. 斯特林近似

考虑到

$$\begin{aligned} \ln n\,! &= \ln 1 + \ln 2 + \cdots + \ln n \\ &= \sum_{i=1}^n \ln i \\ &\mathop{\approx}\limits^{n \rightarrow \infty} \int_{1}^{n}\ln x \,\mathrm{d}x \\ &= \left[x\ln x - x\right]_1^n \\ &= n\ln n - n + 1 \end{aligned}$$

由斯特林公式，当 $n$ 足够大时，有

$$n\,! \approx \sqrt{2 \pi n}\left(\frac{n}{\mathrm{e} }\right)^n$$

当 $n$ 充分大时，这两个估计结果是一致的。