第二章：信息的表示和处理

• 2.1 数制
  • 其他进制转换为十进制
  • 十进制转其他进制
  • 二进制与八进制、十六进制的转换
• 2.2 原码、反码和补码
  • 原码
  • 反码
  • 补码
• 2.3 其他二进制表示
  • 格雷码转自然二进制
  • 自然二进制转格雷码
  • 余三码与自然二进制相互转换
• 2.4 浮点数表示
  • 2.4.1 二进制小数
  • 2.4.2 IEEE 浮点数表示

2.1 数制

十进制（DEC）	十六进制（HEX）	八进制（OCT）	二进制（BIN）
0	0	0	0
1	1	1	1
2	2	2	10
3	3	3	11
4	4	4	100
5	5	5	101
6	6	6	110
7	7	7	111
8	8	10	1000
9	9	11	1001
10	a	12	1010
11	b	13	1011
12	c	14	1100
13	d	15	1101
14	e	16	1110
15	f	17	1111

其他进制转换为十进制

根据进制的权值，如一个 $n$ 位的 $k$ 进制数，从右往左数第一位是 $0$ 位，那么其十进制数字表示是

$$S = \sum_{i=0}^{n-1}x_{i}k^{i}$$

十进制转其他进制

可以使用除法，例如转换为 $k$ 进制，每一次除以 $k$，将余数写在一边，将除数写在下面继续除，直到除数为 $0$，这个时候将余数从下往上写出来就是这个数。

例如，将 $(100)_{10}$ 转换为二进制数：

$$\begin{aligned} 100 & & \\ 50 & \qquad \cdots & 0 \\ 25 & \qquad \cdots & 0 \\ 12 & \qquad \cdots & 1 \\ 6 & \qquad \cdots & 0 \\ 3 & \qquad \cdots & 0 \\ 1 & \qquad \cdots & 1 \\ 0 & \qquad \cdots & 1 \\ \end{aligned}$$

得到的结果是 $(1100100)_{2} = 100$

二进制与八进制、十六进制的转换

从右边数，每 $4$ 个二进制数对应一个十六进制数，每 $3$ 个二进制数对应一个八进制数，不足的可以补 $0$。

0x    a    4    8    f    0    7
0b 1010 0100 1000 1111 0000 0111

0b 101 001 001 000 111 100 000 111
0o   5   1   1   0   7   4   0   7

2.2 原码、反码和补码

原码

最高位是符号位（$0$ 表示正，$1$ 表示负），其余的二进制位表示这个数的绝对值。

整数的原码与其值的关系：

$$[x]_{\text{原}} = \begin{cases} x, & 0 \leqslant x < 2^n \\ 2^n - x, & -2^n < x \leqslant 0 \end{cases}$$

反码

对于正数，反码与原码一致；对于负数，反码的数值部分是原码的二进制求反。

整数的反码与其值的关系：

$$[x]_{\text{反}} = \begin{cases} x, & 0 \leqslant x < 2^n \\ (2^{n+1} - 1) + x, & -2^n < x \leqslant 0 \end{cases} \left[ \mathrm{Mod}\ (2^{n+1} - 1) \right]$$

补码

对于正数，补码与原码一致，对于负数，数值求反并加一。

整数的补码与其值的关系：

$$[x]_{\text{补}} = \begin{cases} x, & 0\le x < 2^n \\ 2^{n+1} + x, & -2^n < x \le 0 \end{cases} \left[ \mathrm{Mod}\ 2^{n+1} \right]$$

2.3 其他二进制表示

格雷码 相邻两位的变化只有一位。余三码 相当于 8421BCD 码加三。

十进制	8421BCD	格雷码	余三码	2421BCD
0	0000	0000	0011	0000
1	0001	0001	0100	0001
2	0010	0011	0101	0010
3	0011	0010	0110	0011
4	0100	0110	0111	0100
5	0101	0111	1000	1011
6	0110	0101	1001	1100
7	0111	0100	1010	1101
8	1000	1100	1011	1110
9	1001	1101	1100	1111
10	1010	1111
11	1011	1110
12	1100	1010
13	1101	1011
14	1110	1001
15	1111	1000

格雷码转自然二进制

自然二进制 $B_i$ 与格雷码 $G_i$，那么

$$B_i = G_i \oplus B_{i+1}$$

其中，$\oplus$ 是异或运算

自然二进制转格雷码

$$G_i = B_i \oplus B_{i+1}$$

余三码与自然二进制相互转换

由余三码定义可以得知，余三码的值减去三得到自然二进制。

2.4 浮点数表示

2.4.1 二进制小数

首先我们先看十进制的小数含义，对于下面的十进制数

$$d_m d_{m-1} \cdots d_1 d_0 . d_{-1} d_{-2} \cdots d_{-n}$$

其数值等于

$$\sum_{i=-n}^m 10^{i} \times d_i$$

这对于二进制也是一样的，对于一个二进制数

$$b_m b_{m-1} \cdots b_1 b_0 . b_{-1} b_{-2} \cdots b_{-n}$$

其数值等于

$$\sum_{i=-n}^m 2^{i} \times b_i$$

我们知道，对于有符号（signed 类型）的数字，第一位使用符号位，对于浮点数也是这样。

2.4.2 IEEE 浮点数表示

32 位浮点数通常遵循 IEEE 754 标准，这个 IEEE 754 可视化网站 可以帮助你理解 IEEE 754。

设符号位为 $S$，尾数为 $M$，阶码为 $E$，那么这个浮点数可以表示为

$$V = (-1)^S \times M \times 2^E$$

其中 $E = e - b$ 其中 $e$ 是绿色区域所表示的无符号数字，偏置 $b$ 为 $2^{\mathrm{bits}-1} - 1$。也就是说对于 32 位的浮点数，$b = 2^{8-1}-1 = 127$，对于 64 位的浮点数，$b = 2^{11-1}-1 = 1023$。

对于尾数，当为规格化时，隐含了一个 $1$ 的表示。即对于 64 位浮点数，各个比特位是 $1:11:52$。

浮点数的分类：

1. 对于规格化的浮点数，$E \neq 255, E \neq 0$
2. 对于非规格化的浮点数，$E = 0$
3. 无穷大表示为 $E = 255,\, M = 0$
4. 不是一个数（NaN）表示为 $E = 255, M \neq 0$

对于下面几点特殊情况：

• 当 $S = 0$ 且 $M = 0$ 时，没有隐含的 $1$，表示 $+0.0$
• 当 $S = 1$ 且 $M = 0$ 时，没有隐含的 $1$，表示 $-0.0$
• 对于 $S = 0$ 时，$E = 255,\, M = 0$ 表示 $+\infty$
• 对于 $S = 1$ 时，$E = 255,\, M = 0$ 表示 $-\infty$