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主题

组合恒等式 ​

1. 生成函数 ​

在介绍组合恒等式之前，我们先介绍一些数学工具。

定义 一般地，我们称幂级数

f(x)=∑n=0∞anxn=a0+a1x+⋯+anxn+⋯f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n = a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n + \cdots

为数列 a0, a1, ⋯ , an, ⋯a_0,\,a_1,\,\cdots,\,a_n,\,\cdots 的 生成函数，又称为 母函数。

当且仅当 an=bn  (n∈N)a_n = b_n\;(n \in \mathbb{N}) 时，有

∑n=0∞anxn=∑n=0∞bnxn\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n = \sum_{n=0}^{\infty} b_nx^n

生成函数常常用于解决组合问题。

2. 常见的组合性质 ​

对于下面的 n⩾0n \geqslant 0，且各组合数满足定义约束。

  1. Cnr=Cnn−r\mathrm{C}_n^r = \mathrm{C}_n^{n-r}
    证明

    基本性质之一

    Cnr=n!r! (n−r)!=n!(n−r)!(n−(n−r))!=Cnn−r\begin{aligned} \mathrm{C}_n^r &= \frac{n!}{r!\,(n-r)!} \\ &= \frac{n!} {\left(n-r\right)!\left(n-\left(n-r\right)\right)!} \\ &= \mathrm{C}_n^{n-r} \end{aligned}

  2. Cn+1r+1=Cnr+1+Cnr\mathrm{C}_{n+1}^{r+1} = \mathrm{C}_n^{r+1} + \mathrm{C}_n^r
    证明

    基本性质之一

    Cn+1r+1=(n+1)!(r+1)! (n−r)!=n!(n+1)(r+1)!(n−r−1)!(n−r)=Cnr+1⋅n+1n−r=Cnr+1+Cnr+1⋅r+1n−r=Cnr+1+n!r!(n−r)!=Cnr+1+Cnr\begin{aligned} \mathrm{C}_{n+1}^{r+1} &= \frac{(n+1)!}{(r+1)!\,(n-r)!} \\ &= \frac{n!\left(n+1\right)} {\left(r+1\right)!\left(n-r-1\right)! \left(n-r\right)} \\ &= \mathrm{C}_n^{r+1}\cdot\frac{n+1}{n-r} \\ &= \mathrm{C}_n^{r+1}+\mathrm{C}_n^{r+1}\cdot \frac{r+1}{n-r} \\ &= \mathrm{C}_n^{r+1}+\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!} \\ &= \mathrm{C}_n^{r+1} + \mathrm{C}_n^r \end{aligned}

  3. rCnr=nCn−1r−1r\mathrm{C}_n^r = n\mathrm{C}_{n-1}^{r-1}
    证明

    rCnr=r⋅n!r!(n−r)!=n⋅(n−1)!(r−1)!(n−r)!=nCn−1r−1\begin{aligned} r\mathrm{C}_n^r &= \frac{r \cdot n!}{r!\left(n-r\right)!} \\ &= \frac{n \cdot \left(n-1\right)!} {\left(r-1\right)!\left(n-r\right)!} \\ &= n\mathrm{C}_{n-1}^{r-1} \end{aligned}

  4. Cn0+Cn1+⋯+Cnn=2n\mathrm{C}_n^0 + \mathrm{C}_n^1 + \cdots + \mathrm{C}_n^n = 2^n
    证明

    根据二项式定理，有

    (1+1)n=Cn0+Cn1+⋯+Cnn=2n\left(1+1\right)^n = \mathrm{C}_n^0 + \mathrm{C}_n^1 + \cdots + \mathrm{C}_n^n = 2^n

  5. Cn0−Cn1+Cn2−Cn3+⋯+(−1)nCnn=0\mathrm{C}_n^0 - \mathrm{C}_n^1 + \mathrm{C}_n^2 - \mathrm{C}_n^3 + \cdots + (-1)^n\mathrm{C}_n^n = 0
    证明

    根据二项式定理，有

    (1−1)n=Cn0−Cn1+Cn2−Cn3+⋯+(−1)nCnn=0\left(1-1\right)^n = \mathrm{C}_n^0 - \mathrm{C}_n^1 + \mathrm{C}_n^2 - \mathrm{C}_n^3 + \cdots + (-1)^n\mathrm{C}_n^n = 0

  6. 1Cn1+2Cn2+3Cn3+⋯+nCnn=n⋅2n−11\mathrm{C}_n^1 + 2\mathrm{C}_n^2 + 3\mathrm{C}_n^3 + \cdots + n\mathrm{C}_n^n = n \cdot 2^{n-1}
    证明

    LHS=∑k=1nkn!k!(n−k)!=∑k=1nn(n−1)!(k−1)!(n−k)!=n∑k=1nCn−1k−1=n⋅2n−1\begin{aligned} \mathrm{LHS} &= \sum_{k=1}^n k \frac{n!}{k!\left(n-k\right)!} \\ &= \sum_{k=1}^n n \frac{\left(n-1\right)!} {\left(k-1\right)!\left(n-k\right)!} \\ &= n\sum_{k=1}^n \mathrm{C}_{n-1}^{k-1} \\ &= n \cdot 2^{n-1} \end{aligned}

  7. CnrCrm=CnmCn−mr−m=Cnr−mCn−r+mm\mathrm{C}_n^r\mathrm{C}_r^m = \mathrm{C}_n^m\mathrm{C}_{n-m}^{r-m} = \mathrm{C}_n^{r-m}\mathrm{C}_{n-r+m}^m（m⩽r⩽nm \leqslant r \leqslant n）
    证明

    LHS=n!r!(n−r)!⋅r!m!(r−m)!=n!m!(n−m)!⋅(n−m)!(n−r)!(r−m)!=CnmCn−mr−m\begin{aligned} \mathrm{LHS} &= \frac{n!}{r!\left(n-r\right)!} \cdot \frac{r!}{m!\left(r-m\right)!} \\ &= \frac{n!}{m!\left(n-m\right)!} \cdot \frac{\left(n-m\right)!} {\left(n-r\right)!\left(r-m\right)!} \\ &= \mathrm{C}_n^m\mathrm{C}_{n-m}^{r-m} \end{aligned}

    LHS=n!r!(n−r)!⋅r!m!(r−m)!=n!(r−m)!(n−r+m)!⋅(n−r+m)!m!(n−r)!=Cnr−mCn−r+mm\begin{aligned} \mathrm{LHS} &= \frac{n!}{r!\left(n-r\right)!} \cdot \frac{r!}{m!\left(r-m\right)!} \\ &= \frac{n!}{\left(r-m\right)!\left(n-r+m\right)!} \cdot \frac{\left(n-r+m\right)!}{m!\left(n-r\right)!} \\ &= \mathrm{C}_n^{r-m}\mathrm{C}_{n-r+m}^m \end{aligned}

  8. Crr+Cr+1r+⋯+Cr+kr=Cr+k+1r+1\mathrm{C}_r^r + \mathrm{C}_{r+1}^r + \cdots + \mathrm{C}_{r+k}^r = \mathrm{C}_{r+k+1}^{r+1}
    证明

    每两项拆开可以和下一项合并：

    LHS=(Cr+1r+1+Cr+1r)+Cr+2r+⋯+Cr+kr=Cr+2r+1+Cr+2r+⋯+Cr+kr⋯=Cr+k+1r+1\begin{aligned} \mathrm{LHS} &= \left(\mathrm{C}^{r+1}_{r+1}+ \mathrm{C}^{r}_{r+1}\right) + \mathrm{C}_{r+2}^r + \cdots + \mathrm{C}_{r+k}^r \\ &= \mathrm{C}^{r+1}_{r+2} + \mathrm{C}^{r}_{r+2} + \cdots + \mathrm{C}_{r+k}^r \\ & \cdots \\ &= \mathrm{C}_{r+k+1}^{r+1} \end{aligned}

常用结论

Cn+mk=Cm0Cnk+Cm1Cnk−1+⋯+CmkCn0\begin{aligned} \mathrm{C}_{n+m}^k &= \mathrm{C}_m^0\mathrm{C}_n^k + \mathrm{C}_m^1\mathrm{C}_n^{k-1} + \cdots + \mathrm{C}_m^k\mathrm{C}_n^0 \end{aligned}

当 m=k=nm = k = n 时，等式化为

C2nn=Cn0Cnn+Cn1Cnn−1+⋯+CnnCn0=(Cn0)2+(Cn1)2+⋯+(Cnn)2\begin{aligned} \mathrm{C}_{2n}^n &= \mathrm{C}_n^0\mathrm{C}_n^n + \mathrm{C}_n^1\mathrm{C}_n^{n-1} + \cdots + \mathrm{C}_n^n\mathrm{C}_n^0 \\ &= \left(\mathrm{C}_n^0\right)^2 + \left(\mathrm{C}_n^1\right)^2 + \cdots + \left(\mathrm{C}_n^n\right)^2 \end{aligned}

附录：组合的有趣性质 ​

斐波那契数和组合数 ​

记斐波那契数列的第 nn 项为 F(n)F(n)，那么[1]

F(n+1)=Cn0+Cn−11+⋯+C⌈n/2⌉⌊n/2⌋=∑i=0⌊n/2⌋Cn−ii\begin{aligned} F(n+1) &= \mathrm{C}_n^0 + \mathrm{C}_{n-1}^1 + \cdots + \mathrm{C}_{\lceil n/2 \rceil}^{\lfloor n/2 \rfloor} \\ &= \sum_{i=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \mathrm{C}_{n-i}^{i} \end{aligned}

关于斐波那契数列的有关性质，阅读 斐波那契数列。

nn 维空间和组合数 ​

nn 维空间（n⩾1, n∈N∗n \geqslant 1,\, n \in \mathbb{N}^*）有 kk 个超平面，则最多将 nn 维空间分为多少块？

可以举几个例子，这里不证明（数学归纳法可证明 2、3 结论）：

  1. 例如 nn 个点最多将直线分为 1+n=Cn0+Cn11+n = \mathrm{C}_n^0+\mathrm{C}_n^1 份（一维空间）
  2. 例如 nn 条直线最多将平面分为 Cn0+Cn1+Cn2\mathrm{C}_n^0+\mathrm{C}_n^1+\mathrm{C}_n^2 份（二维空间）
  3. 例如 nn 个平面最多将空间分为 Cn0+Cn1+Cn2+Cn3\mathrm{C}_n^0+\mathrm{C}_n^1+\mathrm{C}_n^2+\mathrm{C}_n^3 份（三维空间）

于是我们可以猜测，nn 维空间最多被分割为 NN 块，其中

N=∑i=0nCkiN = \sum_{i=0}^n \mathrm{C}_k^i

  1. 组合数计算，知乎，https://www.zhihu.com/question/390530611 ↩︎