集合

• 1. 集合
  • 1.1 集合的定义
  • 1.2 集合的表示
  • 1.3 常见的集合
• 2. 区间
• 3. 集合的运算
• 4. 集合运算的性质
  • 4.1 基础结论
  • 4.2 运算性质

1. 集合

1.1 集合的定义

定义 集合 是一组对象的全体。集合在数学中是不定义概念，最基本概念之一。

集合常用大写字母表示，如 $A,\,B,\,C\cdots$。

定义 集合内的每个对象叫做这个集合的 元素，集合与元素的关系用属于（$\in$）和不属于（$\notin$）描述，元素通常使用小写字母 $a,\,b,\,c\cdots$ 表示。

下面出现的 $A,\,B$ 等大写字母，若不解释均为集合，小写字母 $a,\,b,\,c$ 等若不解释均为集合内元素。

定义 集合相等 被定义为集合内的每一个元素都对应相等，即

$$\left(\forall\, a \in A,\, a \in B\right),\, \left(\forall\, b \in B,\, b \in A\right) \Leftrightarrow A = B$$

集合内的元素是 确定的，下面的条件只有一个成立

$$a \in A,\, A \notin A$$

集合内的元素是 无序的，且集合内的元素是 互异的

$$\forall \,a,\,b \in A,\, a \neq b$$

定义 有限集：元素个数是有限，否则是 无限集。

定义 若 $\forall\, a \in A$，均有 $a \in B$，则称为 $A$ 是 $B$ 的 子集，记为 $A \subseteq B$。此时如果 $A \neq B$，则 $A$ 是 $B$ 的真子集，记为 $A \subsetneqq B$。

1.2 集合的表示

集合的表示在数学上并无严格定义，一般来说有下面几种：

1. 列举法
2. 描述法
3. 图示法

列举法使用大括号包含集合内的元素，适用于集合元素有限且比较少的情况，例如

$$\left\{1,\,2\right\},\,\left\{\pi,\,\frac{\sqrt{2} }{3}\right\}$$

描述法使用 $\left\{x\mid P(x)\right\}$ 格式来表示集合，用处较广，其中 $P(x)$ 表示具有某性质的描述，$x$ 是描述符，例如

$$\left\{x \mid x \in \R,\, x > \sqrt{\pi}\right\}$$

图示法一般用于形象化的描述，一般用 Venn 图 来表示。在不太严格的意义下用以表示集合（或类）的一种图解。

1.3 常见的集合

定义 点集 是只包含点元素的集合，数集 是只包含数字的集合，复数集 是只包含复数的集合，其中上述集合也可以为空集。

一般地，如果集合内的元素都属于类 $\text{A}$，那么这个集合可以称为 $\text{A}$ 集，如 点集、数集，复数集 等。

定义几个最常用的集合：

• 定义 全集 $U$（有时也表示为 $I$）表示为在某范围内某些对象的全体，具体取决定义于上下文
• 定义 空集 是不含元素的集合，表示为 $\emptyset$
• 定义 自然数集 $\mathbf{N}$，有时也写为 $\mathbb{N}$
• 定义 正整数集 $\mathbf{N}_+$ 或 $\mathbf{N}^*$，也可写为 $\mathbb{N}_+,\,\mathbb{N}^*$
• 定义 整数集 $\mathbf{Z}$ 或者 $\mathbb{Z}$
• 定义 有理数集 $\mathbf{Q}$ 或者 $\mathbb{Q}$
• 定义 实数集 $\mathbf{R}$ 或者 $\mathbb{R}$
• 定义 复数集 $\mathbf{C}$ 或者 $\mathbb{C}$

符号规范

在本文档中，所有和数集有关的符号均使 Blackboard Bold 字体表示，即 $\mathbb{Z},\,\mathbb{Q},\,\R,\,\mathbb{C}$ 等，不使用一些教材等广泛定义的粗体。

Blackboard Bold 字体的 LaTeX 代码为 \mathbb{}。

有一类特殊的集合，用于表示从 $a$ 到 $b$ 范围内的所有整数（$a,\,b \in \mathbb{Z}$），记为 $\overline{a,\,b}$，其定义为

$$\overline{a,\,b} = \left\{x \mid x \in \mathbb{Z},\, a \leqslant x \leqslant b \right\}$$

且 $a,\,b \in \mathbb{Z}$。例如 $1,\,2,\,3\cdots,\,n$ 可以表示为 $\overline{1,\,n}$。

2. 区间

定义 区间 表示范围内的所有实数构成的集合，在无歧义的情况下，区间可以使用括号包含的一对实数来表示。不同的括号的区别是是否包含边界，定义如下

$$\begin{aligned} \left[a,\,b\right] &= \left\{x \mid a \leqslant x \leqslant b,\,x \in \R \right\} \\ \left[a,\,b\right) &= \left\{x \mid a \leqslant x < b,\,x \in \R \right\} \\ \left(a,\,b\right] &= \left\{x \mid a < x \leqslant b,\,x \in \R \right\} \\ \left(a,\,b\right) &= \left\{x \mid a < x < b,\,x \in \R \right\} \\ \end{aligned}$$

3. 集合的运算

定义 集合的加法即集合的 并集，其定义如下

$$A + B = A \cup B = \left\{x \mid x \in A \text{ or } x \in B\right\}$$

定义 集合的减法即集合的 差集，其定义如下

$$A - B = A \backslash B = \left\{x \mid x \in A,\, x \notin B\right\}$$

定义 集合的乘法即集合的 交集，其定义如下

$$A \cdot B = A \cap B = \left\{x \mid x \in A,\, x \in B\right\}$$

对多个集合依次取并集记为

$$A = \bigcup_{i=1}^n A_i$$

对多个集合依次取交集记为

$$A = \bigcap_{i=1}^n A_i$$

定义 有限集内元素的个数也称为 集合的大小，或称为 集合的基，记为

$$N = \left| A \right|$$

定义 对集合取反也称为取集合的 补集，$A$ 相对于全集 $U$ 的补集为

$$\overline{A} = \complement_U A = \left\{x \mid x \notin A,\, x \in U\right\}$$

定义 集合的 对称差 定义如下

$$A \oplus B = A \triangle B = \left\{ x \mid x \in A \cup B,\, x \notin A \cap B \right\}$$

根据定义，存在下面的结论

$$A \oplus B = A \triangle B = A + B - AB$$

4. 集合运算的性质

4.1 基础结论

根据上述运算，容易得到下面的结论

$$\begin{aligned} \left| \emptyset \right| &= 0 \\ \left|A+B\right| &= \left|A\right| + \left|B\right| - \left|AB\right| \\ \sum_{i=1}^{n} \left| A_i \right| & \geqslant \left| \bigcup_{i=1}^{n} A_i \right| \geqslant \left| \bigcap_{i=1}^{n} A_i \right| \end{aligned}$$

4.2 运算性质

下面的性质我们不加以证明：

1. 集合的交运算满足交换律和结合律

   $$\begin{aligned} A + B =& B + A \\ (A + B) + C =& A + (B + C) \end{aligned}$$

2. 集合的并运算满足交换律和结合律

   $$\begin{aligned} AB &= BA \\ (AB)C &= A(BC) \end{aligned}$$

3. 集合的补集满足等幂律

   $$\overline{\overline{A} } = A$$

4. 常元律、同一律

   $$\begin{aligned} A + \emptyset &= A \\ A \cdot \emptyset &= \emptyset\\ A + U &= U \\ AU &= A \\ A + A &= A \\ AA &= A \end{aligned}$$

5. 分配律

   $$\begin{aligned} A(B + C) &= AB + AC \\ A +BC &= (A + B)(A + C) \end{aligned}$$

6. 摩根定律

   $$\begin{aligned} \overline{A + B} &= \overline{A} \cdot \overline{B} \\ \overline{AB} &= \overline{A} + \overline{B} \end{aligned}$$

7. 引申的公式

   $$\begin{aligned} A + AB &= A \\ A(A + B) &= A \end{aligned}$$

8. 摩根定律的一般情况

   $$\begin{aligned} \overline{\bigcap_{i=1}^n A_i} &= \bigcup_{i=1}^n \overline{A_i} \\ \overline{\bigcup_{i=1}^n A_i} &= \bigcap_{i=1}^n \overline{A_i} \end{aligned}$$

递归地，对于一个集合，将交集和并集关系互换，将每一个集合符号都改为它的补集，那么得到的集合是原式的补集。