向量

距离度量

定义向量 $\boldsymbol{v}$ 的 $p$ 阶范数定义为

\Vert\boldsymbol{v}\Vert_p = \left(\sum_{i=1}^n \left|v_i\right|^p\right)^{1/p}

其中 $p \geqslant 0$ ， $p = 2$ 时称为欧几里得范数， $p = 1$ 时称为曼哈顿范数，即每个元素的绝对值之和。

特别地，当 $p = 0$ 时， $\Vert\boldsymbol{v}\Vert_0$ 表示向量 $\boldsymbol{v}$ 中非零元素的个数。

当 $p \to \infty$ 时， $\Vert\boldsymbol{v}\Vert_p$ 的极限值为向量 $\boldsymbol{v}$ 中绝对值最大的元素，可以用下式表示：

\Vert\boldsymbol{v}\Vert_\infty = \max_{i} |v_i|

定义对于函数 $f(x)$ ，其 $p$ 阶范数定义为

\Vert f\Vert_p = \left(\int |f(x)|^p\,\mathrm{d}x\right)^{1/p}

定义给定三个像素的坐标 $p$ 、 $q$ 和 $r$ ，其坐标分别为 $(x,\,y)$ 、 $(s,\,t)$ 和 $(u,\,v)$ ，如果满足以下条件，则称函数 $D(p,\,q)$ 为距离度量函数：

其中第一条表示距离度量函数的非负性，第二条表示距离度量函数的对称性，即与起点和终点的顺序无关，第三条表示距离度量函数的三角不等式，即两点之间的最短距离不会大于经过第三点的距离。

定义在离散化的数字图像中，最常用的是 欧氏距离（范数为 $2$ 的距离）：

D_{\mathrm{E}}(p,\,q) = \sqrt{(x - s)^2 + (y - t)^2}

定义下面是 曼哈顿距离，也称为 城区距离（范数为 $1$ 的距离）：

D_4(p,\,q) = |x - s| + |y - t|

定义 $D_8$ 距离被定义为范数为 $\infty$ 的距离，也称为 棋盘距离：

D_8(p,\,q) = \max\{|x - s|,\,|y - t|\}

定义定义两点之间的 闵可夫斯基距离 为

D_w(p,\,q) = \left(\left|x - s\right|^w + \left|y - t\right|^w\right)^{1 / w}