随机事件与概率

• 1. 随机试验
• 2. 样本空间与随机事件
• 3. 事件的关系与运算
  • 3.1 运算规律
• 4. 概率的公理化定义
  • 4.1 概率的基本性质
• 5. 古典概型
• 6. 几何概型

1. 随机试验

在概率论中，我们研究的对象是具有随机性质的现象。这些现象在单次观察中可能呈现出不可预知的结果，但在大量重复观察下却往往表现出某种统计规律性。为了对这些随机现象进行定量的数学分析，我们引入了随机试验的概念。

定义 随机试验（Random Experiment）是指满足以下三个条件的试验：

1. 可在相同的条件下重复进行；
2. 试验的所有可能结果是明确已知的；
3. 每次试验之前不能确定哪一个结果会出现。

我们通常用大写字母 $E$ 来表示一个随机试验。

例 1.1 以下是一些典型的随机试验：

• $E_1$：抛一枚硬币，观察正面（$H$）或反面（$T$）出现的情况；
• $E_2$：掷一颗骰子，观察出现的点数；
• $E_3$：在一批产品中随机抽取一件，测试其是否为合格品；
• $E_4$：记录某个电子元件的使用寿命，由于其具有随机性，结果可能落在某个区间内。

2. 样本空间与随机事件

每一个随机试验的结果都是对该现象的一次具体观察。为了进行数学处理，我们需要将所有可能的结果集合化。

定义 样本空间（Sample Space）是指随机试验 $E$ 所有可能结果组成的集合，记作 $\Omega$。

定义 样本点（Sample Point）是指样本空间中的每一个元素，通常记作 $\omega$。每一个样本点代表了试验的一个最基本、不可再分的可能结果。

例 1.2 对应上述随机试验，其样本空间分别为：

• $E_1$ 的样本空间：$\Omega_1 = \{H, T\}$；
• $E_2$ 的样本空间：$\Omega_2 = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$；
• $E_4$ 的样本空间（测量寿命）：$\Omega_4 = \{t \mid t \geqslant 0\}$。

有了样本空间后，我们可以定义随机事件。

定义 随机事件（Random Event）是指样本空间 $\Omega$ 的子集。在试验中，如果属于该子集的某个样本点出现，则称该事件发生。简称事件，通常用大写字母 $A, B, C, \ldots$ 表示。

定义 基本事件（Elementary Event）是指只含有一个样本点的事件。例如，在掷骰子试验中，“出现 1 点”是一个基本事件。

定义 必然事件（Certain Event）是指样本空间 $\Omega$ 本身。因为试验的所有可能结果都在 $\Omega$ 中，所以每次试验必然会发生。

定义 不可能事件（Impossible Event）是指空集 $\emptyset$。它不包含任何样本点，因此在每次试验中都不可能发生。

3. 事件的关系与运算

由于事件被定义为集合，因此事件之间的关系与运算可以完全借用集合论的方法来描述。

定义 事件的包含：若事件 $A$ 的发生必然导致事件 $B$ 的发生，则称 $A$ 包含于 $B$，记作 $A \subset B$ 或 $B \supset A$。

定义 事件的相等：若 $A \subset B$ 且 $B \subset A$，则称事件 $A$ 与 $B$ 相等，记作 $A = B$。

定义 事件的并（和）：由属于 $A$ 或属于 $B$ 的样本点组成的事件称为 $A$ 与 $B$ 的并（或和），记作 $A \cup B$ 或 $A + B$。它表示 $A$ 和 $B$ 中至少有一个发生。

定义 事件的交（积）：由既属于 $A$ 又属于 $B$ 的样本点组成的事件称为 $A$ 与 $B$ 的交（或积），记作 $A \cap B$ 或 $AB$。它表示 $A$ 和 $B$ 同时发生。

定义 事件的差：由属于 $A$ 而不属于 $B$ 的样本点组成的事件称为 $A$ 与 $B$ 的差，记作 $A - B$。它表示 $A$ 发生而 $B$ 不发生。

定义 互斥事件（Mutually Exclusive Events）：若事件 $A$ 与 $B$ 不能同时发生，即 $AB = \emptyset$，则称 $A$ 与 $B$ 为互不相容事件或互斥事件。

定义 对立事件（Complementary Event）：若事件 $A$ 与 $B$ 满足 $A \cup B = \Omega$ 且 $AB = \emptyset$，则称 $B$ 为 $A$ 的对立事件（或逆事件），记作 $\overline{A}$ 或 $A^c$。

定义 完备事件组（Complete System of Events）：若一组事件 $A_1, A_2, \ldots, A_n$ 满足两两互斥且它们的并集为样本空间 $\Omega$，即：

1. $A_i \cap A_j = \emptyset \quad (i \neq j)$；
2. $\bigcup_{i=1}^n A_i = \Omega$。 则称这组事件为一个完备事件组。

3.1 运算规律

事件的运算满足以下基本规律：

• 交换律：$A \cup B = B \cup A$，$AB = BA$
• 结合律：$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$，$(AB)C = A(BC)$
• 分配律：$A(B \cup C) = (AB) \cup (AC)$，$A \cup (BC) = (A \cup B)(A \cup C)$
• 德摩根定律（De Morgan's Laws）：

  $$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$$

  $$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$$

这些关系可以用下表进行直观对比：

概率论术语	集合论对应	含义描述
事件 $A$ 包含于 $B$	子集 $A \subset B$	$A$ 发生必导致 $B$ 发生
事件 $A$ 与 $B$ 相等	集合相等 $A = B$	$A, B$ 同时发生或同时不发生
和事件 $A \cup B$	并集 $A \cup B$	$A, B$ 至少有一个发生
积事件 $A \cap B$	交集 $A \cap B$	$A, B$ 同时发生
差事件 $A - B$	差集 $A \setminus B$	$A$ 发生而 $B$ 不发生
互斥事件	$A \cap B = \emptyset$	$A, B$ 不能同时发生
对立事件	补集 $\overline{A}$	$A$ 不发生

4. 概率的公理化定义

在讨论概率的严格定义之前，我们通常会先观察频率。在大量重复试验中，事件 $A$ 发生的频率 $f_n(A) = \frac{k}{n}$（$k$ 为发生次数，$n$ 为总试验次数）会趋向于一个稳定的常数，这就是概率的直观来源。然而，为了严谨性，我们需要采用苏联数学家柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov）提出的公理化体系。

定义 概率（Probability）是一个定义在随机试验 $E$ 的样本空间 $\Omega$ 上的实值函数，它为每一个事件 $A$ 分配一个实数 $P(A)$，并满足以下三个公理：

1. 非负性：对任意事件 $A$ 有 $P(A) \geqslant 0$；
2. 规范性：对于必然事件 $\Omega$ 有 $P(\Omega) = 1$；
3. 可列可加性：对于两两互斥的事件序列 $A_1, A_2, \ldots$ 有：

   $$P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i)$$

4.1 概率的基本性质

由上述公理可以推导出以下性质：

1. 不可能事件的概率：$P(\emptyset) = 0$。
2. 有限可加性：若 $A_1, A_2, \ldots, A_n$ 两两互斥，则 $P(\bigcup_{i=1}^n A_i) = \sum_{i=1}^n P(A_i)$。
3. 对立事件概率：$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$。
4. 单调性：若 $A \subset B$，则 $P(A) \leqslant P(B)$，且 $P(B - A) = P(B) - P(A)$。
5. 概率的有界性：对于任意事件 $A$，$0 \leqslant P(A) \leqslant 1$。
6. 加法公式（容斥原理）：对于任意两个事件 $A$ 和 $B$：

   $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$$

对于三个事件的情况，容斥原理公式为：

$$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)$$

证明性质 3：$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$

由于 $A \cup \overline{A} = \Omega$ 且 $A \cap \overline{A} = \emptyset$，根据公理 2（规范性）和公理 3（可列可加性，此处为有限情况）：

$$P(A \cup \overline{A}) = P(A) + P(\overline{A}) = P(\Omega) = 1$$

故 $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$。

5. 古典概型

古典概型是概率论中最基础的一类模型，它的特点是“有限性”和“等可能性”。

定义 古典概型（Classical Probability Model）是指满足以下两个条件的随机试验模型：

1. 样本空间中的基本事件总数是有限的，设为 $n$；
2. 每一个基本事件发生的可能性是相等的。

在这种模型下，事件 $A$ 发生的概率计算公式为：

$$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{\text{事件 } A \text{ 包含的基本事件数}}{\text{样本空间中的基本事件总数}}$$

例 1.3（抽球问题）：袋中有 5 个红球和 3 个白球。从中随机抽取 2 个球。

1. 若为不放回抽样，求抽到的两个球都是红球的概率。
2. 若为有放回抽样，求抽到的两个球都是红球的概率。

解：

1. 不放回抽样时，总结果数为从 8 个球中取 2 个的组合数 $C_8^2 = 28$。两个都是红球的结果数为 $C_5^2 = 10$。

   $$P = \frac{C_5^2}{C_8^2} = \frac{10}{28} \approx 0.357$$

2. 有放回抽样时，每次抽取都有 8 种可能，总结果数为 $8 \times 8 = 64$。两次都抽到红球的结果数为 $5 \times 5 = 25$。

   $$P = \frac{5^2}{8^2} = \frac{25}{64} \approx 0.391$$

例 1.4（生日问题）：假设一年有 365 天。在一个有 $n$ 个人的房间里，求至少有两人同一天生日的概率。

解：直接计算“至少两人”比较困难，考虑其对立事件 $A$：“所有人生日都不同”。 总的可能性为 $365^n$。所有人不同生日的排列数为 $P_{365}^n = 365 \times 364 \times \cdots \times (365 - n + 1)$。

$$P(A) = \frac{P_{365}^n}{365^n}$$

所求概率为 $1 - P(A)$。当 $n = 23$ 时，这个概率就已经超过了 $0.5$；当 $n = 50$ 时，概率约为 $0.97$。

例 1.5（分球入盒）：将 3 个不同的球随机放入 3 个不同的盒子中。求每个盒子恰有一个球的概率。

解：总结果数为 $3^3 = 27$。满足条件的情况相当于对 3 个球进行全排列，即 $3! = 6$。

$$P = \frac{3!}{3^3} = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}$$

6. 几何概型

当样本空间不再是有限集，而是某个连续的度量区域（如线段、平面区域或空间区域）时，我们需要使用几何概型。

定义 几何概型（Geometric Probability）是指满足以下条件的随机试验：

1. 样本空间 $\Omega$ 是一个有界的度量区域（长度、面积或体积）；
2. 每一个样本点落入该区域内某个子区域 $A$ 的可能性仅与该子区域的度量成正比，而与位置无关。

其计算公式为：

$$P(A) = \frac{S_A}{S_\Omega}$$

其中 $S$ 代表该区域的度量（如长度、面积或体积）。

例 1.6（会面问题）：甲、乙两人约定在 12:00 到 13:00 之间在某地会面，并约定先到者等候 20 分钟即离开。假设两人到达的时间在 1 小时内是等可能的，求两人能会面的概率。

解：设甲到达的时间为 $x$，乙到达的时间为 $y$，其中 $0 \leqslant x, y \leqslant 60$（以分钟计）。 样本空间 $\Omega = \{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 60, 0 \leqslant y \leqslant 60\}$ 是一个面积为 $3600$ 的正方形。 两人能会面的条件是 $|x - y| \leqslant 20$，即：

$$-20 \leqslant x - y \leqslant 20$$

这个区域 $A$ 是正方形中间的一条带状区域。计算其面积可以先算对立事件（两个三角形）的面积：

$$S_A = 60^2 - (60 - 20)^2 = 3600 - 1600 = 2000$$

故所求概率为：

$$P(A) = \frac{2000}{3600} = \frac{5}{9}$$

例 1.7（Buffon 投针问题）：在平面上画有间距为 $d$ 的等距平行线。向平面随机投掷一根长度为 $l$ ($l < d$) 的针。求针与平行线相交的概率。

解：设针的中点到最近平行线的距离为 $x$，针与平行线的夹角为 $\theta$。由对称性，$x \in [0, d/2]$，$\theta \in [0, \pi]$。 样本空间面积 $S_\Omega = \frac{d}{2} \cdot \pi$。 相交的条件是 $x \leqslant \frac{l}{2} \sin \theta$。 通过对该区域求积分：

$$S_A = \int_0^\pi \frac{l}{2} \sin \theta \, \mathrm{d}\theta = \frac{l}{2} [-\cos \theta]_0^\pi = l$$

故相交概率为：

$$P = \frac{l}{\pi d / 2} = \frac{2l}{\pi d}$$

这个著名的结果展示了如何通过随机试验来估计 $\pi$ 的值。

在掌握了随机事件的基本概念与概率的计算方法后，我们将进入 条件概率与独立性 的学习，探索事件之间更复杂的关联关系。