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常见离散型随机变量 ​

在概率论的研究中，一些随机试验由于其结构的特殊性，产生出的随机变量往往具有特定的分布规律。本章将详细介绍几类最常用的离散型随机变量，它们是构建复杂概率模型的基础。

1. 0-1 分布（伯努利分布） ​

定义 0-1 分布（Bernoulli Distribution）设随机变量 XX 只取 00 和 11 两个值，且其分布律为 P(X=1)=pP(X = 1) = p，P(X=0)=1−pP(X = 0) = 1 - p，其中 0<p<10 < p < 1。这种分布称为 0-1 分布 或 伯努利分布。

其概率质量函数（PMF）可以统一写成：

P(X=k)=pk(1−p)1−k,k=0,1P(X = k) = p^k (1-p)^{1-k}, \quad k = 0, 1

通常记作 X∼B(1,p)X \sim B(1, p) 或 X∼Bernoulli(p)X \sim \mathrm{Bernoulli}(p)。

1.1 数字特征 ​

  • 期望：E[X]=1⋅p+0⋅(1−p)=pE[X] = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p
  • 方差：Var(X)=E[X2]−(E[X])2=(12⋅p+02⋅(1−p))−p2=p−p2=p(1−p)\mathrm{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = (1^2 \cdot p + 0^2 \cdot (1-p)) - p^2 = p - p^2 = p(1-p)

1.2 应用场景与例题 ​

0-1 分布适用于只有两种可能结果的单次试验。例如：硬币投掷（正面或反面）、产品检测（合格或不合格）、考试结果（通过或不通过）。

例题 1：某生产线上的产品合格率为 0.950.95。现随机抽取一件产品，令 X=1X = 1 表示产品合格，X=0X = 0 表示产品不合格。求 XX 的分布律及期望。

解：XX 服从参数为 p=0.95p = 0.95 的 0-1 分布。 分布律为：P(X=1)=0.95P(X = 1) = 0.95，P(X=0)=0.05P(X = 0) = 0.05。 期望 E[X]=p=0.95E[X] = p = 0.95。

2. 二项分布 ​

定义 二项分布（Binomial Distribution）设随机变量 XX 表示 nn 重伯努利试验中“成功”出现的次数，每次试验中“成功”的概率为 pp。则 XX 的概率分布称为 二项分布。

其 PMF 为：

P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−k,k=0,1,…,nP(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, \ldots, n

记作 X∼B(n,p)X \sim B(n, p)。当 n=1n = 1 时，二项分布退化为 0-1 分布。

2.1 期望与方差 ​

对于二项分布 X∼B(n,p)X \sim B(n, p)，其期望为 E[X]=npE[X] = np，方差为 Var(X)=np(1−p)\mathrm{Var}(X) = np(1-p)。

证明

利用期望的线性性质：设 X=X1+X2+⋯+XnX = X_1 + X_2 + \cdots + X_n，其中 XiX_i 是第 ii 次试验的 0-1 变量（Xi∼B(1,p)X_i \sim B(1, p)）。 由于各次试验相互独立，则：

E[X]=E[∑i=1nXi]=∑i=1nE[Xi]=∑i=1np=npE[X] = E\left[\sum_{i=1}^n X_i\right] = \sum_{i=1}^n E[X_i] = \sum_{i=1}^n p = np

Var(X)=Var[∑i=1nXi]=∑i=1nVar(Xi)=∑i=1np(1−p)=np(1−p)\mathrm{Var}(X) = \mathrm{Var}\left[\sum_{i=1}^n X_i\right] = \sum_{i=1}^n \mathrm{Var}(X_i) = \sum_{i=1}^n p(1-p) = np(1-p)

2.2 最可能值 ​

二项分布的最可能值（众数）是指使 P(X=k)P(X = k) 达到最大的 kk。 通过比较 P(X=k)P(X = k) 与 P(X=k−1)P(X = k-1) 的大小，可以得出：

  • 若 (n+1)p(n+1)p 不是整数，则最可能值为 k=⌊(n+1)p⌋k = \lfloor (n+1)p \rfloor。
  • 若 (n+1)p(n+1)p 是整数，则 k=(n+1)pk = (n+1)p 和 k=(n+1)p−1k = (n+1)p - 1 都是最可能值，它们的概率相等且最大。

2.3 应用场景与例题 ​

例题 2：某射击运动员命中目标的概率为 0.80.8。现独立射击 55 次，求至少命中 44 次的概率。

解：设 XX 为命中次数，则 X∼B(5,0.8)X \sim B(5, 0.8)。

P(X⩾4)=P(X=4)+P(X=5)=(54)0.84(0.2)1+(55)0.85(0.2)0P(X \geqslant 4) = P(X=4) + P(X=5) = \binom{5}{4} 0.8^4 (0.2)^1 + \binom{5}{5} 0.8^5 (0.2)^0

P(X⩾4)=5⋅0.4096⋅0.2+1⋅0.32768=0.4096+0.32768=0.73728P(X \geqslant 4) = 5 \cdot 0.4096 \cdot 0.2 + 1 \cdot 0.32768 = 0.4096 + 0.32768 = 0.73728

例题 3：一批产品的废品率为 0.10.1。现从中抽取 1010 件，求废品数 XX 的期望和方差。

解：X∼B(10,0.1)X \sim B(10, 0.1)。 E[X]=np=10⋅0.1=1E[X] = np = 10 \cdot 0.1 = 1。 Var(X)=np(1−p)=10⋅0.1⋅0.9=0.9\mathrm{Var}(X) = np(1-p) = 10 \cdot 0.1 \cdot 0.9 = 0.9。

3. 泊松分布 ​

定义 泊松分布（Poisson Distribution）如果随机变量 XX 的所有可能取值为 0,1,2,…0, 1, 2, \ldots，且分布律为

P(X=k)=λke−λk!,k=0,1,2,…P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots

其中 λ>0\lambda > 0 是常数，则称 XX 服从参数为 λ\lambda 的 泊松分布，记作 X∼P(λ)X \sim P(\lambda) 或 X∼Poisson(λ)X \sim \mathrm{Poisson}(\lambda)。

3.1 期望与方差 ​

对于 X∼P(λ)X \sim P(\lambda)：

  • 期望：E[X]=λE[X] = \lambda
  • 方差：Var(X)=λ\mathrm{Var}(X) = \lambda

参数 λ\lambda 的物理意义通常是单位时间（或单位面积、单位空间）内事件发生的平均次数。

3.2 泊松定理 ​

定义 泊松定理（Poisson Theorem）设 Xn∼B(n,pn)X_n \sim B(n, p_n)。如果当 n→∞n \to \infty 时，npn→λnp_n \to \lambda（λ>0\lambda > 0 是常数），则对于任一固定的 kk，有：

lim⁡n→∞(nk)pnk(1−pn)n−k=λke−λk!\lim_{n \to \infty} \binom{n}{k} p_n^k (1-p_n)^{n-k} = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}

证明

令 p=λnp = \frac{\lambda}{n}，代入二项分布公式：

(nk)pk(1−p)n−k=n(n−1)⋯(n−k+1)k!(λn)k(1−λn)n−k\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!} \left(\frac{\lambda}{n}\right)^k \left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}

=λkk!⋅nn⋅n−1n⋯n−k+1n⋅(1−λn)n⋅(1−λn)−k= \frac{\lambda^k}{k!} \cdot \frac{n}{n} \cdot \frac{n-1}{n} \cdots \frac{n-k+1}{n} \cdot \left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^n \cdot \left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^{-k}

当 n→∞n \to \infty 时：

  • nn⋅n−1n⋯n−k+1n→1\frac{n}{n} \cdot \frac{n-1}{n} \cdots \frac{n-k+1}{n} \to 1
  • (1−λn)n→e−λ\left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^n \to e^{-\lambda}
  • (1−λn)−k→1\left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^{-k} \to 1 综上所述，极限值为 λke−λk!\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}。

3.3 应用场景与例题 ​

泊松分布常用于描述“稀有事件”在大量重复试验中出现的次数。例如：

  • 某段时间内接到的求救电话次数。
  • 放射性物质在单位时间内放射出的粒子数。
  • 书本中每页的印刷错误数。

例题 4：某种电子元件的失效率为 0.0020.002。现有一批共 10001000 个这种元件，求其中失效元件数 XX 恰好为 33 的概率。

解：X∼B(1000,0.002)X \sim B(1000, 0.002)。由于 nn 较大且 pp 较小，令 λ=np=1000⋅0.002=2\lambda = np = 1000 \cdot 0.002 = 2。 使用泊松近似：

P(X=3)≈23e−23!=86e−2≈1.333⋅0.1353=0.1804P(X = 3) \approx \frac{2^3 e^{-2}}{3!} = \frac{8}{6} e^{-2} \approx 1.333 \cdot 0.1353 = 0.1804

例题 5：一个电话交换台每分钟平均接到 33 个呼唤。求在某一分钟内接到呼唤次数不少于 22 次的概率。

解：设 XX 为呼唤次数，则 X∼P(3)X \sim P(3)。

P(X⩾2)=1−P(X<2)=1−(P(X=0)+P(X=1))P(X \geqslant 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - (P(X=0) + P(X=1))

P(X⩾2)=1−(30e−30!+31e−31!)=1−(1+3)e−3=1−4e−3≈1−4⋅0.0498=0.8008P(X \geqslant 2) = 1 - \left( \frac{3^0 e^{-3}}{0!} + \frac{3^1 e^{-3}}{1!} \right) = 1 - (1 + 3)e^{-3} = 1 - 4e^{-3} \approx 1 - 4 \cdot 0.0498 = 0.8008

4. 几何分布 ​

定义 几何分布（Geometric Distribution）在伯努利试验中，若每次试验成功的概率为 pp，令随机变量 XX 表示直到首次成功为止所需的试验次数，则称 XX 服从参数为 pp 的 几何分布。

其 PMF 为：

P(X=k)=(1−p)k−1p,k=1,2,3,…P(X = k) = (1-p)^{k-1} p, \quad k = 1, 2, 3, \ldots

记作 X∼Geo(p)X \sim \mathrm{Geo}(p)。

4.1 数字特征 ​

  • 期望：E[X]=1pE[X] = \frac{1}{p}
  • 方差：Var(X)=1−pp2\mathrm{Var}(X) = \frac{1-p}{p^2}

4.2 无记忆性 ​

定义 无记忆性（Memoryless Property）几何分布具有如下性质：对于任意正整数 m,nm, n，有

P(X>m+n∣X>m)=P(X>n)P(X > m + n \mid X > m) = P(X > n)

证明

首先计算 P(X>k)P(X > k)，这表示前 kk 次试验全部失败的概率：

P(X>k)=(1−p)kP(X > k) = (1-p)^k

根据条件概率公式：

P(X>m+n∣X>m)=P(X>m+n 且 X>m)P(X>m)=P(X>m+n)P(X>m)P(X > m + n \mid X > m) = \frac{P(X > m + n \text{ 且 } X > m)}{P(X > m)} = \frac{P(X > m + n)}{P(X > m)}

=(1−p)m+n(1−p)m=(1−p)n=P(X>n)= \frac{(1-p)^{m+n}}{(1-p)^m} = (1-p)^n = P(X > n)

这一性质意味着：如果前 mm 次试验已经失败，那么再需要试验 nn 次才成功的概率，与从头开始试验需要 nn 次才成功的概率是相同的。系统没有“记忆”。

4.3 应用场景与例题 ​

例题 6：一个射手命中目标的概率为 0.20.2。他不断射击直到命作为止，求他射击次数 XX 的期望，以及他需要射击超过 33 次的概率。

解：X∼Geo(0.2)X \sim \mathrm{Geo}(0.2)。 期望 E[X]=10.2=5E[X] = \frac{1}{0.2} = 5。 P(X>3)=(1−0.2)3=0.83=0.512P(X > 3) = (1-0.2)^3 = 0.8^3 = 0.512。

5. 超几何分布 ​

定义 超几何分布（Hypergeometric Distribution）设有 NN 件产品，其中有 MM 件次品。从中随机不放回地抽取 nn 件，令 XX 表示抽取的 nn 件产品中的次品数。则称 XX 服从参数为 n,M,Nn, M, N 的 超几何分布。

其 PMF 为：

P(X=k)=(Mk)(N−Mn−k)(Nn)P(X = k) = \frac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}

其中 k=max⁡(0,n−(N−M)),…,min⁡(n,M)k = \max(0, n - (N - M)), \ldots, \min(n, M)。记作 X∼H(n,M,N)X \sim H(n, M, N)。

5.1 期望 ​

对于 X∼H(n,M,N)X \sim H(n, M, N)，其期望为：

E[X]=n⋅MNE[X] = n \cdot \frac{M}{N}

这说明不放回抽样的次品数期望与有放回抽样（二项分布）的期望形式是一致的。

5.2 与二项分布的关系 ​

当总体容量 NN 很大时，不放回抽样可以近似看作有放回抽样。即： 当 N→∞N \to \infty，M→∞M \to \infty 且 MN→p\frac{M}{N} \to p 时，超几何分布近似于二项分布 B(n,p)B(n, p)。

例题 7：从含 1010 个红球和 2020 个白球的袋中不放回地抽取 55 个球，求抽到红球个数 XX 的分布律。

解：X∼H(5,10,30)X \sim H(5, 10, 30)。 分布律为：P(X=k)=(10k)(205−k)(305)P(X = k) = \frac{\binom{10}{k}\binom{20}{5-k}}{\binom{30}{5}}，k=0,1,2,3,4,5k = 0, 1, 2, 3, 4, 5。

6. 负二项分布 ​

定义 负二项分布（Negative Binomial Distribution）在独立重复的伯努利试验中，设每次试验成功的概率为 pp。令随机变量 XX 表示直到出现第 rr 次成功时所需的试验总次数，则称 XX 服从参数为 r,pr, p 的 负二项分布。

其 PMF 为：

P(X=k)=(k−1r−1)pr(1−p)k−r,k=r,r+1,…P(X = k) = \binom{k-1}{r-1} p^r (1-p)^{k-r}, \quad k = r, r+1, \ldots

记作 X∼NB(r,p)X \sim \mathrm{NB}(r, p)。

6.1 性质 ​

  • 与几何分布的关系：几何分布是 r=1r = 1 时负二项分布的特例。
  • 期望：E[X]=rpE[X] = \frac{r}{p}
  • 方差：Var(X)=r(1−p)p2\mathrm{Var}(X) = \frac{r(1-p)}{p^2}

7. 常见离散分布总结 ​

下表总结了本章介绍的主要离散分布及其特征：

分布名称记号概率质量函数 P(X=k)P(X=k)期望 E[X]E[X]方差 Var(X)\mathrm{Var}(X)主要应用
0-1 分布B(1,p)B(1, p)pk(1−p)1−k,k∈{0,1}p^k (1-p)^{1-k}, k \in \{0, 1\}ppp(1−p)p(1-p)单次试验结果
二项分布B(n,p)B(n, p)(nk)pk(1−p)n−k,k=0…n\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, k=0 \ldots nnpnpnp(1−p)np(1-p)nn 重重复试验
泊松分布P(λ)P(\lambda)λke−λk!,k=0,1…\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, k=0, 1 \ldotsλ\lambdaλ\lambda稀有事件、排队论
几何分布Geo(p)\mathrm{Geo}(p)(1−p)k−1p,k=1,2…(1-p)^{k-1} p, k=1, 2 \ldots1p\frac{1}{p}1−pp2\frac{1-p}{p^2}首次成功时间
超几何分布H(n,M,N)H(n, M, N)(Mk)(N−Mn−k)(Nn)\frac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}nMN\frac{nM}{N}-不放回抽样
负二项分布NB(r,p)\mathrm{NB}(r, p)(k−1r−1)pr(1−p)k−r,k=r,r+1…\binom{k-1}{r-1} p^r (1-p)^{k-r}, k=r, r+1 \ldotsrp\frac{r}{p}r(1−p)p2\frac{r(1-p)}{p^2}第 rr 次成功时间

分布间的关系 ​

下方的 Mermaid 图展示了这些分布之间的内在联系：