映射与函数

• 1. 函数的定义
  • 1.1 从关系到函数
  • 1.2 基本概念
  • 1.3 函数相等
• 2. 函数的分类
  • 2.1 单射、满射、双射
  • 2.2 有限集的计数
• 3. 函数的运算
  • 3.1 函数的复合
  • 3.2 恒等函数
  • 3.3 逆函数
• 4. 函数的限制与延拓
• 5. 特征函数与函数集
  • 5.1 特征函数
  • 5.2 函数集
• 6. 函数族与选择函数
  • 6.1 索引族
  • 6.2 选择函数
• 结语

在上一章中，我们详细探讨了二元关系。关系描述了集合元素之间可能存在的各种联系。在本章中，我们将聚焦于一种极为特殊且在数学中无处不在的关系：函数。函数不仅是分析学、代数学的基础，更是集合论中刻画集合规模（基数）的核心工具。

我们从集合论的观点来看，函数其实是一种特殊的二元关系。它将定义域中的每一个元素都唯一地关联到陪域中的一个元素。这种唯一性是函数区别于一般关系的关键所在。通过函数，我们可以描述变化、映射、变换以及各种对应规律。

1. 函数的定义

1.1 从关系到函数

在直觉上，函数被看作一个“黑箱”，输入一个值，产生一个唯一的输出值。在集合论的严谨框架下，我们将其定义为满足特定条件的二元关系。这种处理方式将函数这种动态的过程转化为了静态的集合结构，使得我们可以利用集合论的各种公理对其进行处理。

回忆一下，集合 $A$ 到 $B$ 的一个二元关系 $R$ 是笛卡儿积 $A \times B$ 的子集。如果我们对这个子集加上一些限制，使其能够模拟“每个输入产生唯一输出”的特性，我们就得到了函数。

定义 函数（Function）或 映射（Mapping）：设 $A$ 和 $B$ 是两个集合。若 $f \subseteq A \times B$ 满足以下两个条件：

1. 存在性：对于每一个 $a \in A$，都存在 $b \in B$，使得 $(a,\, b) \in f$；
2. 唯一性：如果 $(a,\, b_1) \in f$ 且 $(a,\, b_2) \in f$，那么 $b_1 = b_2$； 则称 $f$ 为从 $A$ 到 $B$ 的一个 函数。

通常记作 $f: A \to B$。若 $(a,\, b) \in f$，我们也记作 $f(a) = b$。这里的 $a$ 称为自变量，而 $b$ 称为 $a$ 在 $f$ 下的 像。我们也常用符号 $a \mapsto f(a)$ 表示这种对应关系。

这个定义包含了三个不可或缺的要素：

1. 定义域（Domain）：所有的输入来源集合 $A$。
2. 陪域（Codomain）：潜在输出所在的集合 $B$。
3. 对应法则：具体的指派规则 $f \subseteq A \times B$。

NOTE

两个函数 $f$ 和 $g$ 被认为是相等的，当且仅当它们的定义域相同、陪域相同，且对于定义域中的每一个元素，它们的函数值都相等。如果其中任何一个要素不同，即使计算公式看起来一样，它们也是不同的函数。

例 1.1 考虑集合 $A = \left\{1,\, 2,\, 3\right\}$ 和 $B = \left\{x,\, y\right\}$。

1. 关系 $f = \left\{(1,\, x),\, (2,\, y),\, (3,\, x)\right\}$ 是一个函数。
2. 关系 $g = \left\{(1,\, x),\, (2,\, y)\right\}$ 不是从 $A$ 到 $B$ 的函数，因为 $3 \in A$ 没有对应的输出（违反了存在性）。
3. 关系 $h = \left\{(1,\, x),\, (1,\, y),\, (2,\, x),\, (3,\, y)\right\}$ 也不是函数，因为 $1 \in A$ 对应了两个输出 $x$ 和 $y$（违反了唯一性）。

1.2 基本概念

在学习函数的过程中，我们需要清晰地定义几个相关的集合概念。这些概念描述了函数在不同视角下的“作用范围”。

定义 定义域（Domain）：函数 $f: A \to B$ 的所有第一个坐标构成的集合，记作 $\mathrm{dom}(f) = A$。这是函数能够接收的所有有效输入的集合。

定义 陪域（Codomain）：函数 $f: A \to B$ 的目标集合 $B$。它规定了函数值可能落入的范围，但不要求其中的每一个元素都被取到。

定义 值域（Range / Image）：函数所有实际取到的值的集合，记作 $\mathrm{ran}(f)$ 或 $f(A)$：

$$\mathrm{ran}(f) = \left\{f(a) \mid a \in A\right\} \subseteq B$$

注意区分陪域和值域。陪域是你声明函数“输出在哪里”的集合，而值域是函数“实际上能输出什么”的集合。

例 1.2 考虑平方函数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 定义为 $f(x) = x^2$。 其定义域是实数集 $\mathbb{R}$，陪域也是 $\mathbb{R}$。但由于任何实数的平方都不可能为负数，其值域 $\mathrm{ran}(f)$ 实际上是 $[0,\, \infty)$。

定义 集合 $S \subseteq A$ 在 $f$ 下的 像（Image）：指 $S$ 中所有元素对应函数值的集合：

$$f(S) = \left\{f(x) \mid x \in S\right\} = \left\{y \in B \mid \exists x \in S, \, f(x) = y\right\}$$

定义 集合 $T \subseteq B$ 在 $f$ 下的 原像（Preimage）：指 $A$ 中所有映射到 $T$ 中的元素的集合：

$$f^{-1}(T) = \left\{x \in A \mid f(x) \in T\right\}$$

注意，这里的 $f^{-1}$ 只是一个记号，并不代表 $f$ 一定存在逆函数。原像集总是存在的，即使 $f$ 不是可逆的。如果 $T$ 是一个单点集 $\left\{b\right\}$，我们通常简写 $f^{-1}(\left\{b\right\})$ 为 $f^{-1}(b)$。

1.3 函数相等

正如我们在集合相等的定义中所看到的，两个数学对象是否“同一个”取决于它们的内在结构。

两个函数 $f$ 和 $g$ 相等，记作 $f = g$，当且仅当满足以下三个条件：

1. $\mathrm{dom}(f) = \mathrm{dom}(g)$
2. 陪域相同（通常在语境中预设，若明确指出则需一致）
3. 对于定义域中的每一个元素 $x$，都有 $f(x) = g(x)$

例 1.3 函数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R},\, f(x) = x + 1$ 与 $g: \mathbb{Z} \to \mathbb{R},\, g(x) = x + 1$ 不相等，因为它们的定义域不同。这意味着它们作为 $A \times B$ 的子集，其包含的点集是完全不同的。

2. 函数的分类

在研究函数时，我们经常关心它是否“打得准”（没有两个输入落到同一个输出上）以及它是否“打得全”（覆盖了所有的输出）。这些性质直接决定了集合之间是否可以建立一一对应的关系。

2.1 单射、满射、双射

定义 单射（Injection / One-to-one）：若对于 $A$ 中任意不同的元素 $a_1$ 和 $a_2$，它们的像也不同，则称 $f: A \to B$ 为单射。数学表述为：

$$f(a_1) = f(a_2) \Rightarrow a_1 = a_2$$

这意味着单射函数不会将不同的输入“混淆”在同一个输出点上。在坐标图上，如果一个水平线与函数图像最多只有一个交点，那么它就是单射。

定义 满射（Surjection / Onto）：若值域等于陪域，即对于 $B$ 中的每一个元素 $b$，在 $A$ 中至少存在一个元素 $a$ 使得 $f(a) = b$，则称 $f: A \to B$ 为满射。即：

$$\forall b \in B, \quad \exists a \in A, \quad f(a) = b$$

满射保证了目标集合中的每一个元素都有它的出处。通过调整陪域的大小，我们有时可以将一个非满射函数变成满射。

定义 双射（Bijection / One-to-one Correspondence）：若 $f$ 既是单射又是满射，则称 $f$ 为双射。

这意味着 $A$ 和 $B$ 的元素之间建立了一一对应的完美匹配。每一个 $A$ 中的元素都有唯一的像，且每一个 $B$ 中的元素都有唯一的原像。

例 2.1：

1. $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R},\, f(x) = e^x$。它是单射（指数函数是严格单调的），但不是满射（因为负数没有原像，值域是 $(0,\, \infty)$）。
2. $g: \mathbb{R} \to [0,\, \infty),\, g(x) = x^2$。它是满射（每个非负数都有平方根），但不是单射（例如 $g(1) = g(-1) = 1$）。
3. $h: \mathbb{R} \to \mathbb{R},\, h(x) = 2x + 3$。它是双射。
4. $k: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z},\, k(n) = 2n$。它是单射，但不是满射（奇数没有原像）。

我们还可以用图示来直观感受这三者的区别：

• 单射：每个箭头的终点各不相同，没有两个箭头发射到同一个点上。
• 满射：终点集合（陪域）中的每一个点都被至少一个箭头射中。
• 双射：每个点都恰好被射中一次，像是一场完美的联谊。

2.2 有限集的计数

对于有限集合 $A$ 和 $B$，函数性质与集合的大小（势）之间有深刻的联系。这种联系是有限数学和组合数学的基础。

1. 如果存在单射 $f: A \to B$，那么 $B$ 必须有足够的空间容纳 $A$ 的所有不同输出，因此 $|A| \leqslant |B|$。
2. 如果存在满射 $f: A \to B$，那么 $A$ 必须有足够的元素去覆盖 $B$ 的每一个角落，因此 $|A| \geqslant |B|$。
3. 如果存在双射 $f: A \to B$，那么 $|A| = |B|$。

这个观察非常基础，但它构成了康托尔（Cantor）研究无穷集大小的基础。即便对于无穷集合，我们也说两个集合的基数相等，当且仅当它们之间存在一个双射。

@theorem-1 鸽巢原理（Pigeonhole Principle）：若 $A$ 和 $B$ 是有限集，且 $|A| > |B|$，则任何函数 $f: A \to B$ 都不是单射。

证明：直观上，如果你要把 $n + 1$ 只鸽子放进 $n$ 个笼子里，至少有一个笼子会有两只或更多的鸽子。 在集合论语言中，如果 $|A| = m$，$|B| = n$，且 $m > n$，假设 $f$ 是单射，那么根据单射的定义，$f$ 的值域的大小 $|f(A)|$ 应该等于它的定义域的大小 $m$。 但由于 $f(A) \subseteq B$，根据子集的性质，其大小必然满足 $|f(A)| \leqslant |B| = n$。 结合以上两点，我们得到 $m \leqslant n$，这与我们的假设 $m > n$ 产生矛盾。 因此，假设不成立，函数 $f$ 绝对不可能是单射。

3. 函数的运算

3.1 函数的复合

当一个函数的输出可以作为另一个函数的输入时，我们可以将它们连接起来。复合是构造新函数最基本的方法之一。

定义 复合函数（Composition）：设 $f: A \to B$ 和 $g: B \to C$ 是两个函数。它们的复合函数记作 $g \circ f$，是一个从 $A$ 到 $C$ 的函数，定义为：

$$(g \circ f)(a) = g(f(a)) \quad \text{对于所有 } a \in A$$

注意顺序：$g \circ f$ 表示先作用 $f$，再作用 $g$。这种从右往左的阅读习惯有时会让初学者感到困惑，但它在代数学中是非常标准的形式，因为它符合 $g(f(x))$ 的嵌套写法。

@theorem-2 复合的结合律：设 $f: A \to B$，$g: B \to C$，$h: C \to D$，则：

$$h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$$

证明：我们要证明两个函数相等，首先我们要确认它们的定义域和陪域。 对于 $h \circ (g \circ f)$，内层函数 $g \circ f$ 的定义域是 $A$，陪域是 $C$。然后 $h$ 作用于 $C$ 的结果，所以其整体定义域是 $A$，陪域是 $D$。 同理，$(h \circ g) \circ f$ 的定义域也是 $A$，陪域是 $D$。

现在验证对应法则。对于任意 $a \in A$： 左式作用于 $a$：

$$[h \circ (g \circ f)](a) = h((g \circ f)(a)) = h(g(f(a)))$$

右式作用于 $a$：

$$[(h \circ g) \circ f](a) = (h \circ g)(f(a)) = h(g(f(a)))$$

由于对于定义域中的所有 $a \in A$，两者的函数值都完全相等，根据函数相等的定义，有 $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$。

TIP

复合运算通常不满足交换律。即使 $f \circ g$ 和 $g \circ f$ 都有定义，它们的结果往往也不同。例如 $f(x) = x^2$，$g(x) = x + 1$，则 $(f \circ g)(x) = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$，而 $(g \circ f)(x) = x^2 + 1$。

关于复合函数的性质，有以下重要结论：

1. 若 $f$ 和 $g$ 都是单射，则 $g \circ f$ 是单射。
2. 若 $f$ 和 $g$ 都是满射，则 $g \circ f$ 是满射。
3. 若 $f$ 和 $g$ 都是双射，则 $g \circ f$ 是双射。

证明思路（单射情况）：设 $(g \circ f)(a_1) = (g \circ f)(a_2)$。这意味着 $g(f(a_1)) = g(f(a_2))$。 由于 $g$ 是单射，根据定义，我们必然有 $f(a_1) = f(a_2)$。 接着，由于 $f$ 也是单射，再次根据定义，我们得到 $a_1 = a_2$。 这证明了对于任意 $a_1, \, a_2 \in A$，如果它们的复合像相等，则它们本身相等。故 $g \circ f$ 是单射。

3.2 恒等函数

在函数的世界里，有一些函数起着特殊的作用，比如什么都不改变的函数。

定义 恒等函数（Identity Function）：对于任何集合 $A$，定义在 $A$ 上的恒等函数 $\mathrm{id}_A: A \to A$ 为：

$$\mathrm{id}_A(a) = a \quad \text{对于所有 } a \in A$$

恒等函数在复合运算中扮演了类似乘法中数字 1 的角色。它是复合运算的单位元： 对于任何函数 $f: A \to B$，有 $f \circ \mathrm{id}_A = f$ 且 $\mathrm{id}_B \circ f = f$。

3.3 逆函数

如果函数描述了一个过程，那么逆函数就描述了如何“撤销”这个过程。

定义 逆函数（Inverse Function）：若 $f: A \to B$ 是一个函数，如果存在函数 $g: B \to A$ 使得：

1. $g \circ f = \mathrm{id}_A$
2. $f \circ g = \mathrm{id}_B$ 则称 $f$ 是可逆的，并称 $g$ 为 $f$ 的逆函数，记作 $f^{-1}$。

@theorem-3 函数 $f: A \to B$ 具有逆函数当且仅当它是双射。

证明： ($\Rightarrow$) 假设 $f$ 具有逆函数 $g$。

• 证明单射性：若 $f(a_1) = f(a_2)$，我们在等式两边同时作用 $g$，得到 $g(f(a_1)) = g(f(a_2))$。由于 $g$ 是 $f$ 的左逆，即 $g(f(a)) = a$，所以得到 $a_1 = a_2$。故 $f$ 是单射。
• 证明满射性：对于任意 $b \in B$，由于 $g: B \to A$，我们可以找到 $a = g(b) \in A$。将 $f$ 作用于这个 $a$，得到 $f(a) = f(g(b))$。由于 $g$ 也是 $f$ 的右逆，即 $f(g(b)) = b$，所以得到 $f(a) = b$。这说明 $B$ 中每个元素都有原像。故 $f$ 是满射。 综上所述，$f$ 是双射。

($\Leftarrow$) 假设 $f$ 是双射。 我们要构造一个函数 $g: B \to A$。由于 $f$ 是满射，对每个 $b \in B$，在 $A$ 中至少存在一个元素 $a$ 使得 $f(a) = b$。 由于 $f$ 也是单射，对于给定的 $b$，这样的 $a$ 在 $A$ 中是唯一的（如果有两个，它们必然相等）。 于是我们可以合法地定义一个对应规则 $g(b) = a$。 此时，对于任意 $a \in A$，令 $b = f(a)$，则根据 $g$ 的定义有 $g(b) = a$，即 $g(f(a)) = a$，故 $g \circ f = \mathrm{id}_A$。 对于任意 $b \in B$，令 $a = g(b)$，则根据 $g$ 的定义有 $f(a) = b$，即 $f(g(b)) = b$，故 $f \circ g = \mathrm{id}_B$。 因此，构造出的 $g$ 确实是 $f$ 的逆函数。

@theorem-4 若 $f: A \to B$ 和 $g: B \to C$ 都是双射，则 $g \circ f$ 也是双射，且其逆函数为：

$$(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$$

这被称为“穿衣脱衣原理”：先穿袜子（$f$）再穿鞋子（$g$），脱掉时的顺序必须是先脱鞋子（$g^{-1}$）再脱袜子（$f^{-1}$）。

例 3.1 函数 $f: \mathbb{R} \to (0,\, \infty),\, f(x) = e^x$ 是双射，其逆函数为 $f^{-1}: (0,\, \infty) \to \mathbb{R},\, f^{-1}(y) = \ln y$。

4. 函数的限制与延拓

有时候我们只需要研究函数在定义域的一个子集上的行为，或者希望将函数的规则扩大到更大的范围。

定义 限制（Restriction）：设 $f: A \to B$ 是一个函数，$S \subseteq A$。$f$ 在 $S$ 上的限制记作 $f|_S$，是一个从 $S$ 到 $B$ 的函数，定义为：

$$f|_S(x) = f(x) \quad \text{对于所有 } x \in S$$

限制运算经常用于处理非单射函数。例如 $f(x) = x^2$ 在整个实数集 $\mathbb{R}$ 上不是单射，但如果我们将其限制在非负实数集 $S = [0,\, \infty)$ 上，它就变成了一个单射函数。

定义 延拓（Extension）：设 $f: A \to B$ 且 $A \subseteq A'$。若函数 $g: A' \to B$ 满足 $g|_A = f$，则称 $g$ 是 $f$ 的一个延拓。

延拓通常不唯一，因为我们可以自由定义 $g$ 在新增加的定义域部分 $A' \setminus A$ 上的取值。在数学分析中，如何“平滑地”延拓一个函数是一个非常核心的问题。

例 4.1 函数 $f: [0,\, \infty) \to \mathbb{R},\, f(x) = x$ 是恒等函数在非负实数集上的限制。我们可以将其延拓到整个 $\mathbb{R}$。一种方式是定义 $g(x) = |x|$（即对于负数部分取绝对值），另一种简单的延拓是定义 $h(x) = x$ 对于整个实数集。显然 $g$ 和 $h$ 是不同的延拓。

5. 特征函数与函数集

5.1 特征函数

特征函数是将集合运算转化为数值运算的桥梁。通过它，我们可以利用算术运算来处理集合的并、交、补等关系。

定义 特征函数（Characteristic Function）：设 $U$ 是全集，$S \subseteq U$。集合 $S$ 的特征函数 $\chi_S: U \to \left\{0,\, 1\right\}$ 定义为：

$$\chi_S(x) = \begin{cases} 1, & x \in S \\ 0, & x \notin S \end{cases}$$

特征函数具有非常优美的代数性质，它允许我们用代数恒等式来证明复杂的集合恒等式：

1. 交运算：$\chi_{A \cap B}(x) = \chi_A(x) \cdot \chi_B(x)$
2. 并运算：$\chi_{A \cup B}(x) = \chi_A(x) + \chi_B(x) - \chi_A(x) \cdot \chi_B(x)$
3. 补运算：$\chi_{A^c}(x) = 1 - \chi_A(x)$
4. 差运算：$\chi_{A \setminus B}(x) = \chi_A(x) \cdot (1 - \chi_B(x))$

这些性质在概率论中非常有用，我们可以通过计算指示变量（特征函数的另一种说法）的期望来证明某些集合公式。

5.2 函数集

我们要不仅研究单个函数，还要研究“所有函数组成的集合”。

定义 函数集：设 $A$ 和 $B$ 是两个集合，从 $A$ 到 $B$ 的所有函数构成的集合记作 $B^A$。有时也记作 $\mathrm{Map}(A,\, B)$ 或 $F(A, \, B)$。

$$B^A = \left\{f \mid f: A \to B\right\}$$

这种指数记法是由有限集的情况启发而来的。如果我们记 $|A| = n$，$|B| = m$，那么 $|B^A| = m^n$。这是因为对于 $A$ 中的每一个元素，我们都有 $m$ 种独立的选择，总共有 $n$ 次选择的机会。

一个极其重要的观察是：集合 $A$ 的幂集 $\mathcal{P}(A)$ 与函数集 $\left\{0,\, 1\right\}^A$ 之间存在自然的“同构”关系。

@theorem-5 对于任何集合 $A$，有 $\mathcal{P}(A) \cong \left\{0,\, 1\right\}^A$。

这里的 $\cong$ 表示存在一个双射。具体的映射 $F: \mathcal{P}(A) \to \left\{0,\, 1\right\}^A$ 定义为 $F(S) = \chi_S$。这个双射告诉我们，子集的个数与特征函数的个数是一样的。 在有限集合的情况下，这解释了为什么幂集的势是 $2^n$（因为陪域有两个元素 $\{0, 1\}$）。 这为以后定义无穷集合的基数奠定了基础。如果我们定义 $|A| = \kappa$，那么我们就定义 $2^\kappa$ 为其幂集的势。

6. 函数族与选择函数

6.1 索引族

在处理多个集合时，我们不仅需要集合本身，还需要一种方式来有条理地引用它们。

定义 索引族（Indexed Family）：设 $I$ 是一个集合（称为索引集）。如果对于每个 $i \in I$，都有一个对应的集合 $A_i$，那么我们称 $\left\{A_i\right\}_{i \in I}$ 为一个集合族。 本质上，这是一个定义在 $I$ 上的函数 $f$，其取值 $f(i) = A_i$ 是一些集合。这里的 $\bigcup_{i \in I} A_i$ 构成了这些集合中所有元素的“宇宙”。

我们可以通过索引族来定义更加一般的并集和交集运算。这种推广允许我们处理无限个集合的交并：

$$\bigcup_{i \in I} A_i = \left\{x \mid \exists i \in I, \, x \in A_i\right\}$$

$$\bigcap_{i \in I} A_i = \left\{x \mid \forall i \in I, \, x \in A_i\right\}$$

6.2 选择函数

最后，我们来看一个在现代数学基础中极具争议但又不可或缺的概念。

定义 选择函数（Choice Function）：对于一个由非空集合构成的族 $\mathcal{F}$，一个选择函数 $s$ 是一个定义在 $\mathcal{F}$ 上的函数，使得对于每一个集合 $X \in \mathcal{F}$，都有 $s(X) \in X$。

通俗地说，选择函数从每一个非空集合中“挑选”出一个代表元素。在有限的情况下，这种挑选是显而易见的，我们可以一个一个列出来。但当我们要同时从无穷多个集合中各挑选出一个元素，而又没有统一的挑选规则时，直觉开始变得模糊。

是否存在这样的选择函数？这就是著名的 选择公理（Axiom of Choice, AC）所断言的内容。选择公理虽然看起来很平凡，但它却是 ZFC 集合论体系的核心组成部分，保证了许多重要数学定理（如每一个非零向量空间都有基）的成立。

结语

本章我们从关系出发，严谨地定义了函数，并探讨了它们的分类、运算以及一些特殊类型的函数。函数不仅是连接不同集合的桥梁，更是我们刻画集合内部结构的精妙工具。通过对单射、满射和双射的研究，我们实际上已经迈出了衡量“无限”的第一步。在接下来的章节中，我们将正式利用双射的概念来定义集合的“势”，从而真正进入康托尔发现的那个奇妙的无限世界。