多维随机变量及其分布

• 1. 二维随机变量及其联合分布
  • 1.1 联合分布函数的性质
  • 1.2 联合分布函数的计算例题
• 2. 二维离散型随机变量
  • 2.1 离散型例题
• 3. 二维连续型随机变量
  • 3.1 联合 PDF 的性质
  • 3.2 常见的连续分布
  • 3.3 连续型例题
• 4. 边缘分布
  • 4.1 离散型的边缘分布
  • 4.2 连续型的边缘分布
  • 4.3 边缘分布例题
  • 4.4 连续型边缘分布例题
• 5. 条件分布
  • 5.1 离散型条件分布
  • 5.2 连续型条件分布
  • 5.3 连续型条件分布例题
• 6. 随机变量的独立性
  • 6.1 独立性的等价条件
  • 6.2 正态分布的独立性
  • 6.3 独立性例题
• 7. 两个随机变量函数的分布
  • 7.1 和的分布与卷积公式
  • 7.2 比值的分布（补）
  • 7.3 最大值与最小值的分布
  • 7.4 函数分布例题
• 参考文献

1. 二维随机变量及其联合分布

在实际问题中，单单研究一个随机变量往往是不够的。比如在研究某种疾病时，医生可能需要同时观测患者的体温 $X$ 和血压 $Y$。这就引出了多维随机变量的概念。

定义 二维随机变量（Two-dimensional Random Variable） 设 $E$ 是一个随机试验，它的样本空间是 $S = \{e\}$。设 $X(e)$ 和 $Y(e)$ 是定义在 $S$ 上的两个随机变量。由它们构成的向量 $(X, Y)$ 称为二维随机变量或二维随机向量。

定义 联合分布函数（Joint Distribution Function / Joint CDF） 设 $(X, Y)$ 是二维随机变量，对于任意实数 $x, y$，称

$$F(x, y) = P(X \leqslant x, Y \leqslant y)$$

为二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合分布函数。

从几何上看，如果将 $(X, Y)$ 看作平面上的点，那么 $F(x, y)$ 就是随机点 $(X, Y)$ 落在以 $(x, y)$ 为右上顶点的无穷矩形区域中的概率。

1.1 联合分布函数的性质

联合分布函数 $F(x, y)$ 具有以下基本性质：

1. 单调性：$F(x, y)$ 分别关于 $x$ 和 $y$ 是单调不减的。即当 $x_1 < x_2$ 时，$F(x_1, y) \leqslant F(x_2, y)$；当 $y_1 < y_2$ 时，$F(x, y_1) \leqslant F(x, y_2)$。
2. 有界性：对于任意的 $x, y$，$0 \leqslant F(x, y) \leqslant 1$。且有：
   • $F(-\infty, y) = \lim_{x \to -\infty} F(x, y) = 0$
   • $F(x, -\infty) = \lim_{y \to -\infty} F(x, y) = 0$
   • $F(-\infty, -\infty) = 0$
   • $F(+\infty, +\infty) = 1$
3. 右连续性：$F(x, y)$ 分别关于 $x$ 和 $y$ 都是右连续的。
4. 非负性：对于任意实数 $a < b$，$c < d$，随机点 $(X, Y)$ 落在矩形区域 $a < X \leqslant b, c < Y \leqslant d$ 的概率为：

   $$P(a < X \leqslant b, c < Y \leqslant d) = F(b, d) - F(a, d) - F(b, c) + F(a, c) \geqslant 0$$

1.2 联合分布函数的计算例题

例 1：设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合分布函数为：

$$F(x, y) = \begin{cases} (1 - e^{-ax})(1 - e^{-by}), & x > 0, y > 0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$

其中 $a > 0, b > 0$。求随机点 $(X, Y)$ 落在矩形区域 $\{0 < X \leqslant 1, 0 < Y \leqslant 1\}$ 内的概率。

解答

利用性质 4：

$$P(0 < X \leqslant 1, 0 < Y \leqslant 1) = F(1, 1) - F(0, 1) - F(1, 0) + F(0, 0)$$

代入分布函数定义： $F(1, 1) = (1 - e^{-a})(1 - e^{-b})$$F(0, 1) = 0$$F(1, 0) = 0$$F(0, 0) = 0$ 因此，$P(0 < X \leqslant 1, 0 < Y \leqslant 1) = (1 - e^{-a})(1 - e^{-b})$。

2. 二维离散型随机变量

如果二维随机变量 $(X, Y)$ 所有可能的取值是有限对或可列无穷多对 $(x_i, y_j)$，则称 $(X, Y)$ 为二维离散型随机变量。

定义 联合概率分布（Joint Probability Distribution / Joint PMF） 设二维离散型随机变量 $(X, Y)$ 所有可能的取值为 $(x_i, y_j)$（$i, j = 1, 2, \dots$），称

$$P(X = x_i, Y = y_j) = p_{ij}, \quad i, j = 1, 2, \dots$$

为 $(X, Y)$ 的联合概率分布（或联合分布律）。

联合分布律通常可以用表格形式列出，称为联合分布表：

$X \setminus Y$	$y_1$	$y_2$	$\dots$	$y_j$	$\dots$
$x_1$	$p_{11}$	$p_{12}$	$\dots$	$p_{1j}$	$\dots$
$x_2$	$p_{21}$	$p_{22}$	$\dots$	$p_{2j}$	$\dots$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$		$\vdots$
$x_i$	$p_{i1}$	$p_{i2}$	$\dots$	$p_{ij}$	$\dots$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$		$\vdots$

联合分布律具有两个性质：

1. $p_{ij} \geqslant 0$
2. $\sum_i \sum_j p_{ij} = 1$

2.1 离散型例题

例 1：同时掷两枚均匀的骰子，记 $X$ 为两枚骰子点数之和，$Y$ 为两枚骰子点数之差的绝对值。求 $(X, Y)$ 的联合分布律。

解答

骰子点数 $(d_1, d_2)$ 共有 $6 \times 6 = 36$ 种等可能的结果。 $X = d_1 + d_2$，$Y = |d_1 - d_2|$。 可能的取值为 $X \in \{2, 3, \dots, 12\}$，$Y \in \{0, 1, \dots, 5\}$。 通过枚举所有组合：

• 当 $Y=0$ 时，$d_1=d_2$，组合有 (1,1), (2,2), ..., (6,6)。对应的 $X$ 分别为 2, 4, 6, 8, 10, 12。每个组合概率为 $1/36$。
• 当 $Y=1$ 时，$|d_1-d_2|=1$，组合有 (1,2), (2,1), (2,3), (3,2), ..., (5,6), (6,5)，共 10 种。 依此类推可以填满分布表。

3. 二维连续型随机变量

定义 联合概率密度函数（Joint Probability Density Function / Joint PDF） 对于二维随机变量 $(X, Y)$ 的分布函数 $F(x, y)$，如果存在非负函数 $f(x, y)$，使得对于任意实数 $x, y$ 都有：

$$F(x, y) = \int_{-\infty}^x \int_{-\infty}^y f(u, v) \, \mathrm{d}v \, \mathrm{d}u$$

则称 $(X, Y)$ 为二维连续型随机变量，函数 $f(x, y)$ 称为它的联合概率密度函数。

3.1 联合 PDF 的性质

1. $f(x, y) \geqslant 0$。
2. $\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = 1$。
3. 设 $D$ 是平面上的一个区域，则点 $(X, Y)$ 落在 $D$ 内的概率为：

   $$P((X, Y) \in D) = \iint_D f(x, y) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y$$

4. 在 $f(x, y)$ 的连续点处，有：

   $$f(x, y) = \frac{\partial^2 F(x, y)}{\partial x \partial y}$$

3.2 常见的连续分布

定义 二维均匀分布（Two-dimensional Uniform Distribution） 设 $D$ 是平面上的一个有界区域，其面积为 $S_D$。如果 $(X, Y)$ 的联合密度函数为：

$$f(x, y) = \begin{cases} \frac{1}{S_D}, & (x, y) \in D \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$

则称 $(X, Y)$ 在区域 $D$ 上服从均匀分布。

定义 二维正态分布（Bivariate Normal Distribution） 如果二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合密度函数为：

$$f(x, y) = \frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}} \exp\left\{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2} - 2\rho\frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2} + \frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}\right]\right\}$$

其中 $\mu_1, \mu_2, \sigma_1, \sigma_2, \rho$ 都是常数，且 $\sigma_1 > 0, \sigma_2 > 0, |\rho| < 1$，则称 $(X, Y)$ 服从参数为 $\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho$ 的二维正态分布，记作 $(X, Y) \sim N(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho)$。

参数含义：

• $\mu_1, \mu_2$：分别是 $X$ 和 $Y$ 的均值。
• $\sigma_1^2, \sigma_2^2$：分别是 $X$ 和 $Y$ 的方差。
• $\rho$：$X$ 与 $Y$ 的相关系数。

3.3 连续型例题

例 2：设 $(X, Y)$ 的联合密度函数为：

$$f(x, y) = \begin{cases} kxy, & 0 \leqslant x \leqslant 1, 0 \leqslant y \leqslant 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$

(1) 确定常数 $k$；(2) 计算 $P(X + Y \leqslant 1)$。

解答

(1) 利用联合 PDF 的归一性：

$$\int_0^1 \int_0^1 kxy \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = k \left( \int_0^1 x \, \mathrm{d}x \right) \left( \int_0^1 y \, \mathrm{d}y \right) = k \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{k}{4} = 1$$

解得 $k = 4$。

(2) 计算概率：

$$P(X + Y \leqslant 1) = \iint_{x+y \leqslant 1, 0 \leqslant x, y \leqslant 1} 4xy \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = \int_0^1 \left( \int_0^{1-x} 4xy \, \mathrm{d}y \right) \mathrm{d}x$$

$$= \int_0^1 2x(1-x)^2 \, \mathrm{d}x = \int_0^1 (2x - 4x^2 + 2x^3) \, \mathrm{d}x = \left[ x^2 - \frac{4}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^4 \right]_0^1 = 1 - \frac{4}{3} + \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$$

4. 边缘分布

联合分布描述了 $(X, Y)$ 的整体分布情况，而其中每一个分量 $X$ 或 $Y$ 也有自己的分布。

定义 边缘分布函数（Marginal Distribution Function） 二维随机变量 $(X, Y)$ 关于 $X$ 的边缘分布函数记作 $F_X(x)$，定义为：

$$F_X(x) = P(X \leqslant x) = P(X \leqslant x, Y < +\infty) = F(x, +\infty)$$

同理，关于 $Y$ 的边缘分布函数为：

$$F_Y(y) = P(Y \leqslant y) = F(+\infty, y)$$

4.1 离散型的边缘分布

对于离散型随机变量，其边缘分布律可以通过对联合分布律求和得到。 边缘 PMF 分别为：

$$P(X = x_i) = \sum_{j} p_{ij} = p_{i\cdot}$$

$$P(Y = y_j) = \sum_{i} p_{ij} = p_{\cdot j}$$

在分布表中，这对应于将各行或各列的概率加总。

4.2 连续型的边缘分布

对于连续型随机变量，通过积分消去不需要的变量： 边缘 PDF 分别为：

$$f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d}y$$

$$f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \, \mathrm{d}x$$

如果 $(X, Y)$ 在区域 $D$ 上服从均匀分布，那么 $f_X(x)$ 在 $x$ 轴上的投影区间内可能不再是均匀分布。

二维正态分布的边缘分布： 若 $(X, Y) \sim N(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho)$，则其边缘分布仍为正态分布：

$$X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2), \quad Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$$

证明时需要对 $f(x, y)$ 进行配方并对另一个变量在 $(-\infty, +\infty)$ 积分。

重要结论：

1. 联合分布可以唯一确定边缘分布。
2. 边缘分布通常不能唯一确定联合分布。

反例说明： 设 $X$ 和 $Y$ 都服从标准正态分布 $N(0, 1)$。 如果 $X$ 和 $Y$ 独立，其联合密度为 $f_1(x, y) = \phi(x)\phi(y)$。 如果我们构造另一个分布，比如在某些对称点上改变密度但不改变投影积和，其边缘分布依然是 $N(0, 1)$，但联合分布已经改变。 这意味着两个分量的个体特征（边缘分布）不足以还原它们之间的相互关系（联合分布）。

4.3 边缘分布例题

例 2：已知 $(X, Y)$ 服从单位圆 $D = \{(x, y) \mid x^2 + y^2 \leqslant 1\}$ 上的均匀分布，求 $f_X(x)$。

解答

由题意，$S_D = \pi$，联合密度为：

$$f(x, y) = \begin{cases} \frac{1}{\pi}, & x^2 + y^2 \leqslant 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$

求 $f_X(x)$，对 $y$ 积分。固定 $x \in (-1, 1)$，$y$ 的范围是 $-\sqrt{1-x^2} \leqslant y \leqslant \sqrt{1-x^2}$。

$$f_X(x) = \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \frac{1}{\pi} \, \mathrm{d}y = \frac{2\sqrt{1-x^2}}{\pi}, \quad |x| \leqslant 1$$

当 $|x| > 1$ 时，$f_X(x) = 0$。

4.4 连续型边缘分布例题

例 4：已知 $(X, Y)$ 的联合密度函数为：

$$f(x, y) = \begin{cases} 2e^{-x-2y}, & x > 0, y > 0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$

(1) 求边缘密度 $f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$；(2) 判断 $X$ 和 $Y$ 是否独立。

解答

(1) 边缘密度：

$$f_X(x) = \int_0^{+\infty} 2e^{-x-2y} \, \mathrm{d}y = 2e^{-x} \left( \int_0^{+\infty} e^{-2y} \, \mathrm{d}y \right) = 2e^{-x} \cdot \frac{1}{2} = e^{-x}, \quad x > 0$$

$$f_Y(y) = \int_0^{+\infty} 2e^{-x-2y} \, \mathrm{d}x = 2e^{-2y} \left( \int_0^{+\infty} e^{-x} \, \mathrm{d}x \right) = 2e^{-2y} \cdot 1 = 2e^{-2y}, \quad y > 0$$

(2) 判断独立性：

$$f_X(x)f_Y(y) = e^{-x} \cdot 2e^{-2y} = 2e^{-x-2y} = f(x, y)$$

因此，$X$ 和 $Y$ 相互独立。

5. 条件分布

定义 条件分布（Conditional Distribution） 在已知其中一个随机变量取值的条件下，另一个随机变量的概率分布称为条件分布。

5.1 离散型条件分布

设 $(X, Y)$ 是离散型随机变量，对于固定的 $j$，若 $P(Y = y_j) > 0$，则在 $Y = y_j$ 的条件下，$X$ 的条件分布律为：

$$P(X = x_i \mid Y = y_j) = \frac{P(X = x_i, Y = y_j)}{P(Y = y_j)} = \frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}}$$

5.2 连续型条件分布

对于连续型随机变量，不能直接使用 $P(Y=y)$ 因为该概率为 0。我们利用极限过程定义。

定义 条件概率密度函数（Conditional PDF） 设 $(X, Y)$ 的联合密度函数为 $f(x, y)$，边缘密度函数为 $f_Y(y)$。在 $f_Y(y) > 0$ 的点 $y$，称

$$f_{X|Y}(x \mid y) = \frac{f(x, y)}{f_Y(y)}$$

为在 $Y = y$ 的条件下 $X$ 的条件概率密度函数。

同理，可定义 $f_{Y|X}(y \mid x)$。

例 3：求二维正态分布的条件分布。 可以证明，若 $(X, Y) \sim N(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho)$，则 $f_{X|Y}(x \mid y)$ 仍然是一个一维正态分布。其均值和方差分别是 $y$ 的线性函数。

5.3 连续型条件分布例题

例 5：设 $(X, Y)$ 在区域 $D = \{(x, y) \mid 0 < x < 1, 0 < y < x\}$ 上服从均匀分布。求在 $X = x$ 的条件下 $Y$ 的条件概率密度。

解答

由题意，$D$ 的面积 $S_D = \frac{1}{2}$，联合密度为：

$$f(x, y) = \begin{cases} 2, & 0 < x < 1, 0 < y < x \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$

(1) 求边缘密度 $f_X(x)$：

$$f_X(x) = \int_0^x 2 \, \mathrm{d}y = 2x, \quad 0 < x < 1$$

(2) 求条件密度 $f_{Y|X}(y \mid x)$：

$$f_{Y|X}(y \mid x) = \frac{f(x, y)}{f_X(x)} = \frac{2}{2x} = \frac{1}{x}, \quad 0 < y < x$$

当 $0 < x < 1$ 时，$f_{Y|X}(y \mid x) \sim U(0, x)$。

6. 随机变量的独立性

定义 随机变量的独立性（Independence of Random Variables） 设 $F(x, y)$ 是二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合分布函数，$F_X(x), F_Y(y)$ 分别是其边缘分布函数。如果对于任意实数 $x, y$，都有：

$$F(x, y) = F_X(x) F_Y(y)$$

则称随机变量 $X$ 和 $Y$ 是相互独立的。

6.1 独立性的等价条件

1. 离散型：$X$ 和 $Y$ 独立当且仅当对所有的 $i, j$，有：

   $$p_{ij} = p_{i\cdot} \cdot p_{\cdot j}$$

2. 连续型：$X$ 和 $Y$ 独立当且仅当在平面上几乎处处成立：

   $$f(x, y) = f_X(x) f_Y(y)$$

6.2 正态分布的独立性

对于二维正态分布 $(X, Y) \sim N(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho)$，$X$ 和 $Y$ 相互独立的充要条件是 $\rho = 0$。 这意味着对于二维正态分布，不相关（$\rho=0$）与独立是等价的。注意，这在一般分布中并不成立。

6.3 独立性例题

例 6：设 $X, Y$ 的联合概率分布如下：

$X \setminus Y$	$0$	$1$
$0$	$1/6$	$1/3$
$1$	$1/3$	$1/6$

(1) 求边缘分布；(2) 判断 $X$ 与 $Y$ 是否独立。

解答

(1) 边缘分布： $P(X=0) = 1/6 + 1/3 = 1/2$$P(X=1) = 1/3 + 1/6 = 1/2$$P(Y=0) = 1/6 + 1/3 = 1/2$$P(Y=1) = 1/3 + 1/6 = 1/2$

(2) 判断独立性： $P(X=0, Y=0) = 1/6$$P(X=0)P(Y=0) = 1/2 \cdot 1/2 = 1/4$ 由于 $P(X=0, Y=0) \neq P(X=0)P(Y=0)$，因此 $X$ 与 $Y$ 不独立。

7. 两个随机变量函数的分布

已知 $(X, Y)$ 的联合分布，求 $Z = g(X, Y)$ 的分布。

7.1 和的分布与卷积公式

设 $(X, Y)$ 是连续型随机变量，其密度函数为 $f(x, y)$。设 $Z = X + Y$，则 $Z$ 的分布函数为：

$$F_Z(z) = P(X + Y \leqslant z) = \iint_{x+y \leqslant z} f(x, y) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y$$

为了求 $f_Z(z)$，我们先固定 $x$，对 $y$ 进行积分，此时 $y$ 的上限为 $z - x$：

$$F_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} \left[ \int_{-\infty}^{z-x} f(x, y) \, \mathrm{d}y \right] \mathrm{d}x$$

对 $z$ 求导（利用变上限积分求导法则）：

$$f_Z(z) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} \int_{-\infty}^{+\infty} \left[ \int_{-\infty}^{z-x} f(x, y) \, \mathrm{d}y \right] \mathrm{d}x = \int_{-\infty}^{+\infty} \left[ \frac{\partial}{\partial z} \int_{-\infty}^{z-x} f(x, y) \, \mathrm{d}y \right] \mathrm{d}x$$

从而得到卷积公式：

$$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, z-x) \, \mathrm{d}x$$

如果 $X$ 和 $Y$ 独立，则有 $f(x, y) = f_X(x) f_Y(y)$，代入上式得：

$$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) f_Y(z-x) \, \mathrm{d}x$$

由于 $X$ 和 $Y$ 的对称性，上式也可以写作：

$$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_Y(y) f_X(z-y) \, \mathrm{d}y$$

7.2 比值的分布（补）

设 $X, Y$ 独立，且 $Y > 0$，求 $Z = X/Y$ 的分布。

$$F_Z(z) = P(X/Y \leqslant z) = P(X \leqslant zY) = \int_0^{+\infty} \left[ \int_{-\infty}^{zy} f_X(x) f_Y(y) \, \mathrm{d}x \right] \mathrm{d}y$$

求导得：

$$f_Z(z) = \int_0^{+\infty} y f_X(zy) f_Y(y) \, \mathrm{d}y$$

7.3 最大值与最小值的分布

设 $X, Y$ 相互独立，分布函数分别为 $F_X(x), F_Y(y)$。

• 最大值 $M = \max(X, Y)$ 的分布函数：

  $$F_M(z) = P(\max(X, Y) \leqslant z) = P(X \leqslant z, Y \leqslant z) = F_X(z) F_Y(z)$$

• 最小值 $N = \min(X, Y)$ 的分布函数：

  $$F_N(z) = P(\min(X, Y) \leqslant z) = 1 - P(\min(X, Y) > z) = 1 - P(X > z, Y > z) = 1 - [1 - F_X(z)][1 - F_Y(z)]$$

例 4：在一个串联系统中，只要有一个部件失效系统就失效。设各部件寿命 $X_i$ 独立且服从指数分布，则系统寿命 $N = \min(X_1, \dots, X_k)$ 依然服从指数分布，且参数为各部件参数之和。

7.4 函数分布例题

例 7：设 $X \sim E(1), Y \sim E(1)$ 且相互独立（指数分布），求 $Z = X + Y$ 的分布。

解答

由题意，$f_X(x) = e^{-x}, x > 0$；$f_Y(y) = e^{-y}, y > 0$。 利用卷积公式：

$$f_Z(z) = \int_0^z f_X(x) f_Y(z-x) \, \mathrm{d}x = \int_0^z e^{-x} e^{-(z-x)} \, \mathrm{d}x$$

$$= \int_0^z e^{-z} \, \mathrm{d}x = z e^{-z}, \quad z > 0$$

这说明独立指数分布之和服从 Erlang 分布。

例 8：在串联系统与并联系统中，设两个部件的寿命 $X, Y$ 独立且都服从参数为 $\lambda$ 的指数分布。 (1) 系统串联时的寿命 $N = \min(X, Y)$； (2) 系统并联时的寿命 $M = \max(X, Y)$。

解答

(1) 串联系统：

$$F_N(z) = 1 - [1 - F_X(z)][1 - F_Y(z)] = 1 - e^{-\lambda z} e^{-\lambda z} = 1 - e^{-2\lambda z}, \quad z > 0$$

寿命服从参数为 $2\lambda$ 的指数分布。

(2) 并联系统：

$$F_M(z) = F_X(z) F_Y(z) = (1 - e^{-\lambda z})^2, \quad z > 0$$

寿命分布为 $F_M(z) = 1 - 2e^{-\lambda z} + e^{-2\lambda z}$。

参考文献

1. 《概率论与数理统计》 盛骤等编，第五版
2. 概率论基础教程，Sheldon Ross 著